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7. [2026 清远期中]观察下列多项式:$a - 2b, a^2 - 4b^3, a^3 - 8b^5, a^4 - 16b^7, \dots$,则第$n$个多项式为 (
A.$a^n - 2nb^{2n - 1}$
B.$a^n - 2^nb^{2n + 1}$
C.$a^n - 2^nb^{2n - 1}$
D.$a^n - 2^nb^{2n}$
C
)A.$a^n - 2nb^{2n - 1}$
B.$a^n - 2^nb^{2n + 1}$
C.$a^n - 2^nb^{2n - 1}$
D.$a^n - 2^nb^{2n}$
答案
C
8. [2025武汉期末]下列各方格中的四个数之间都有相同规律,根据此规律,第8个图中的$d=$（
第1个图：
2 3
1 0
第2个图：
4 9
2 15
第3个图：
8 -3
4
第4个图：
16 21
8 45
…
第8个图：
a b
c d
A.315
B.645
C.965
D.1 275
B
）第1个图：
2 3
1 0
第2个图：
4 9
2 15
第3个图：
8 -3
4
第4个图：
16 21
8 45
…
第8个图：
a b
c d
A.315
B.645
C.965
D.1 275
答案
B 由题图知,每个方格中左上角的数字依次为$-2,4,-8,16,\dots$,所以第$n$个方格中左上角的数字可表示为$(-2)^n$;每个方格中左下角的数字是左上角数字的一半,所以第$n$个方格中左下角的数字可表示为$\frac{(-2)^n}{2}$;每个方格中右上角的数字比左上角的数字大5,所以第$n$个方格中右上角的数字可表示为$(-2)^n + 5$。当$n=8$时,$a=(-2)^8=256$,$b=256+5=261$,$c=\frac{256}{2}=128$,因为$0=-2+(-1)+3$,$15=4+2+9$,$-15=-8+(-4)+(-3)$,…,所以$d=256+128+261=645$。
9. [2026银川期末]如图是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。请仔细观察图形，则在第n个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多 (
A.n块
B.2n块
C.3n块
D.$(n+1)$块
D
)A.n块
B.2n块
C.3n块
D.$(n+1)$块
答案
D 观察题中图形的变化可知:第1个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多2块;第2个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多3块;第3个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多4块……所以第$n$个图中白色瓷砖比黑色瓷砖多$(n+1)$块。
变式[2026 杭州西湖区期中节选]用小棒拼成如图所示的图案,其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形,第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形……若按此规律拼下去,则第ⓝ个图案需要小棒的根数为
$6n+6$
。(用含n的式子表示)答案
$6n+6$ 第①个图案需要小棒的根数为$12=3×4$,第②个图案需要小棒的根数为$18=3×6$,第③个图案需要小棒的根数为$24=3×8$……所以第$n$个图案需要小棒的根数为$3(2n+2)=6n+6$。
10. [2026南昌期末]观察下列算式,探究其规律:
$1^2 = \frac{1×2×3}{6}$；$1^2 + 2^2 = \frac{2×3×5}{6}$；$1^2 + 2^2 + 3^2 = \frac{3×4×7}{6}$；$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \frac{4×5×9}{6}$；…。
(1)根据你发现的规律,计算$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 =$
(2)请用一个含n的代数式表示这个规律:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 =$
$1^2 = \frac{1×2×3}{6}$；$1^2 + 2^2 = \frac{2×3×5}{6}$；$1^2 + 2^2 + 3^2 = \frac{3×4×7}{6}$；$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \frac{4×5×9}{6}$；…。
(1)根据你发现的规律,计算$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 =$
$55$
。(2)请用一个含n的代数式表示这个规律:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 =$
$\frac{n×(n+1)×(2n+1)}{6}$
。答案
(1)$55$;(2)$\frac{n×(n+1)×(2n+1)}{6}$
11. [2026芜湖期末]图1是2026年1月的日历图，用如图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为$a,b,c,d$。
(1)$a + d$
(2)当图2在图1的不同位置时，代数式$a - 2b + 4c - 3d$的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由。
(1)$a + d$
$=$
$b + c$。(填“＞”“＜”或“=”)(2)当图2在图1的不同位置时，代数式$a - 2b + 4c - 3d$的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由。
答案
解:(1)$=$
设$a=n$($n$为正整数),则$d=n+16$,$b=n+14$,$c=n+2$,则$b+c=n+14+n+2=2n+16$,$a+d=n+n+16=2n+16$,所以$a+d=b+c$。
(2)代数式$a-2b+4c-3d$的值为定值。
设$a=n$($n$为正整数),则$c=n+2$,$d=n+16$,$b=n+14$,
所以$a-2b+4c-3d$
$=n-2(n+14)+4(n+2)-3(n+16)$
$=n-2n-28+4n+8-3n-48$
$=n-2n+4n-3n-28+8-48$
$=-68$
所以代数式$a-2b+4c-3d$的值为定值,这个定值为$-68$。
设$a=n$($n$为正整数),则$d=n+16$,$b=n+14$,$c=n+2$,则$b+c=n+14+n+2=2n+16$,$a+d=n+n+16=2n+16$,所以$a+d=b+c$。
(2)代数式$a-2b+4c-3d$的值为定值。
设$a=n$($n$为正整数),则$c=n+2$,$d=n+16$,$b=n+14$,
所以$a-2b+4c-3d$
$=n-2(n+14)+4(n+2)-3(n+16)$
$=n-2n-28+4n+8-3n-48$
$=n-2n+4n-3n-28+8-48$
$=-68$
所以代数式$a-2b+4c-3d$的值为定值,这个定值为$-68$。
