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10. 在(
$15 = ($
$91 = ($
2
)里填合适的质数。$15 = ($
2
+ (13
) $= ($3
）+ (5
) $+ ($7
$ )；$51 = (3
) $× ($17
$) ；$42 = (2
) $× ($3
$) $× (7
) ；$91 = ($
7
$) $× (13
) 。答案
2,13,3,5,7,3,17,2,3,7,7,13
解析
15 = 2 + 13 = 3 + 5 + 7；
51 = 3 × 17；
42 = 2 × 3 × 7；
91 = 7 × 13。
51 = 3 × 17；
42 = 2 × 3 × 7；
91 = 7 × 13。
二、明辨是非。
1. 非零自然数中，除 2 以外，其余的偶数都是合数。(
2. 如果 $a$ 是 $b$ 的因数，那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是 $a$。(
3. 两个不相等的非零自然数 $a$ 和 $b$，它们的最大公因数一定比它们的最小公倍数小。(
4. 相邻的两个非零自然数的最大公因数是 1。(
5. 两个质数相乘的积还是质数。(
6. 两个数的乘积是它们的最小公倍数。(
7. 任何一个不是 0 的自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。(
8. 一个合数至少有三个因数。(
1. 非零自然数中，除 2 以外，其余的偶数都是合数。(
√
)2. 如果 $a$ 是 $b$ 的因数，那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是 $a$。(
√
)3. 两个不相等的非零自然数 $a$ 和 $b$，它们的最大公因数一定比它们的最小公倍数小。(
√
)4. 相邻的两个非零自然数的最大公因数是 1。(
√
)5. 两个质数相乘的积还是质数。(
×
)6. 两个数的乘积是它们的最小公倍数。(
×
)7. 任何一个不是 0 的自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。(
√
)8. 一个合数至少有三个因数。(
√
)答案
√
√
√
√
×
×
√
√
√
√
√
×
×
√
√
解析
如果 $a$ 是 $b$ 的因数，那么 $b$ 可以被 $a$ 整除，即 $b=ka$（$k$ 为整数）。根据最大公因数的定义，两个数的最大公因数是能够同时整除它们的最大正整数。因为 $a$ 能整除 $a$ 和 $b$，且任何大于 $a$ 的数不可能同时整除 $a$ 和 $b$，所以 $a$ 和 $b$ 的最大公因数就是 $a$，题目中的说法正确。
两个不相等的非零自然数$a$和$b$，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，它们表示的是这两个数共有的因数的最大值，而最小公倍数是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积，它表示的是这两个数的公倍数中的最小值。所以最大公因一定小于（当两数有倍数关系时，最大公因数是最小那个数，最小公倍数最大那个数）或（当两数互质时最大公因数是$1$，而最小公倍数是两数的乘积）或（一般情况最大公因数小于两数，最小公倍数大于两数中的一个数）这两种情况下最大公因数都比最小公倍数小，所以该说法正确。
相邻的两个非零自然数互质，互质的两个数最大公因数是1。
质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。两个质数相乘的积，则这个积的因数至少有1，这个积本身以及这两个质数，所以两个质数相乘的积不是质数，而是合数。例如$3$和$2$是质数，$3×2 = 6$，$6$的因数有$1$、$2$、$3$、$6$，是合数不是质数。
当两个数是互质数时，它们的乘积是最小公倍数；若两个数不是互质数，如2和4，乘积是8，最小公倍数是4，此时乘积不是最小公倍数。所以该说法错误。
根据因数和倍数的定义，一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。
根据合数的定义，合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。所以一个合数至少有1、它本身和另外一个因数，共三个因数。故该说法正确。
两个不相等的非零自然数$a$和$b$，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，它们表示的是这两个数共有的因数的最大值，而最小公倍数是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积，它表示的是这两个数的公倍数中的最小值。所以最大公因一定小于（当两数有倍数关系时，最大公因数是最小那个数，最小公倍数最大那个数）或（当两数互质时最大公因数是$1$，而最小公倍数是两数的乘积）或（一般情况最大公因数小于两数，最小公倍数大于两数中的一个数）这两种情况下最大公因数都比最小公倍数小，所以该说法正确。
相邻的两个非零自然数互质，互质的两个数最大公因数是1。
质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。两个质数相乘的积，则这个积的因数至少有1，这个积本身以及这两个质数，所以两个质数相乘的积不是质数，而是合数。例如$3$和$2$是质数，$3×2 = 6$，$6$的因数有$1$、$2$、$3$、$6$，是合数不是质数。
当两个数是互质数时，它们的乘积是最小公倍数；若两个数不是互质数，如2和4，乘积是8，最小公倍数是4，此时乘积不是最小公倍数。所以该说法错误。
根据因数和倍数的定义，一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。
根据合数的定义，合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。所以一个合数至少有1、它本身和另外一个因数，共三个因数。故该说法正确。
三、精挑细选。
1. 如果 m = a×3×3，n = a×3×5，那么 (m,n) = (
A.3a
B.9a²
C.45a
D.27a
1. 如果 m = a×3×3，n = a×3×5，那么 (m,n) = (
A
) )。A.3a
B.9a²
C.45a
D.27a
答案
A
解析
根据最大公因数的定义，分别对m和n分解质因数，m=a×3×3，n=a×3×5，两个数公有的质因数的乘积即为这两个数的最大公因数，m和n公有的质因数是a和3，所以(m,n)=a×3 = 3a。
2. $a$ 是一个偶数，有如下式子：① $3a$；② $a + 3$；③ $a²$；④ $\underbrace{a + a + ··· + a}_{19 个 a}$；⑤ $a + a + 1$。其中有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个式子的结果一定是奇数。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
已知$a$是一个偶数，依次分析每个式子：
①$3a$：偶数乘以任何整数仍然是偶数，所以$3a$为偶数。
②$a + 3$：偶数加奇数结果是奇数，所以$a + 3$为奇数。
③$a^2$：偶数的平方还是偶数，所以$a^2$为偶数。
④$\underbrace{a + a + ··· + a}_{19个a}$：$19$个偶数相加，结果仍然是偶数。
⑤$a + a + 1=2a + 1$：$2a$是偶数，$2a + 1$是奇数，所以$a + a + 1$为奇数。
结果一定是奇数的式子有②和⑤，共$2$个。
①$3a$：偶数乘以任何整数仍然是偶数，所以$3a$为偶数。
②$a + 3$：偶数加奇数结果是奇数，所以$a + 3$为奇数。
③$a^2$：偶数的平方还是偶数，所以$a^2$为偶数。
④$\underbrace{a + a + ··· + a}_{19个a}$：$19$个偶数相加，结果仍然是偶数。
⑤$a + a + 1=2a + 1$：$2a$是偶数，$2a + 1$是奇数，所以$a + a + 1$为奇数。
结果一定是奇数的式子有②和⑤，共$2$个。
3. 12 和 8 是 48 的(
A.倍数
B.因数
C.公因数
D.最小公倍数
B
)。A.倍数
B.因数
C.公因数
D.最小公倍数
答案
B
解析
因数是指整数a除以整数b(b≠0) 的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数。因为$48÷12 = 4$，$48÷8 = 6$，商都是整数且没有余数，所以12和8是48的因数。
4. 下列说法正确的有(
① 相邻的两个偶数的最大公因数是 2。
② 任意两个非 0 自然数的乘积一定是这两个数的公倍数。
③ 19 的因数都是质数。
④ 大于 2 的偶数都是合数，大于 1 的奇数都是质数。
⑤ 两个不同质数的乘积，是合数。
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)个。① 相邻的两个偶数的最大公因数是 2。
② 任意两个非 0 自然数的乘积一定是这两个数的公倍数。
③ 19 的因数都是质数。
④ 大于 2 的偶数都是合数，大于 1 的奇数都是质数。
⑤ 两个不同质数的乘积，是合数。
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
①相邻的两个偶数相差2，例如2和4、4和6，它们的最大公因数是2，该说法正确。
②根据公倍数的定义，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，任意两个非0自然数的乘积一定是这两个数的公倍数，该说法正确。
③19的因数有1和19，1不是质数，该说法错误。
④大于2的偶数除了1和它本身外至少还有因数2，所以都是合数；但大于1的奇数不都是质数，例如9是奇数且是合数，该说法错误。
⑤两个不同质数的乘积，除了1和它本身外，还有这两个质数作为因数，所以是合数，该说法正确。
综上，①②⑤说法正确，共3个。
②根据公倍数的定义，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，任意两个非0自然数的乘积一定是这两个数的公倍数，该说法正确。
③19的因数有1和19，1不是质数，该说法错误。
④大于2的偶数除了1和它本身外至少还有因数2，所以都是合数；但大于1的奇数不都是质数，例如9是奇数且是合数，该说法错误。
⑤两个不同质数的乘积，除了1和它本身外，还有这两个质数作为因数，所以是合数，该说法正确。
综上，①②⑤说法正确，共3个。
