一、选择题
1. 若三角形的一边比这一边上的高长 4 cm，其面积为 70 cm²，则这边的长为().
A.10 cm
B.14 cm
C.18 cm
D.6 cm

1. B

设这边的长为$x\ \mathrm{cm}$，则这边上的高为$(x - 4)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$，可得：
$\frac{1}{2}x(x - 4) = 70$
化简得：
$x(x - 4) = 140$
$x^2 - 4x - 140 = 0$
解方程$x^2 - 4x - 140 = 0$，判别式$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × (-140) = 16 + 560 = 576$，则：
$x = \frac{4 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{4 \pm 24}{2}$
解得$x_1 = \frac{4 + 24}{2} = 14$，$x_2 = \frac{4 - 24}{2} = -10$（边长不能为负，舍去）。
所以这边的长为$14\ \mathrm{cm}$。
B

2. 定义新运算“*”，规定：$a*b=\begin{cases}a(a≥ b),\\b(a＜ b).\end{cases}$若方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}＜ x_{2}$，则$x_{1}*x_{2}$的值为( ).
 

A.$-3$
B.1
C.$-3$或 1
D.无法确定

2. B

解方程$x^{2}+2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。因为$x_{1}=-3＜ x_{2}=1$，根据新运算“*”的定义$a*b=\begin{cases}a(a≥ b)\\b(a＜ b)\end{cases}$，所以$x_{1}*x_{2}=x_{2}=1$。
B

3. 若关于$x$的方程$kx^{2}-(k + 1)x + 1 = 0$的根是整数，则满足条件的整数$k$有().

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

3. C

当$k=0$时，方程化为$-x + 1 = 0$，解得$x=1$，根是整数，符合条件；
当$k≠0$时，方程$kx^{2}-(k + 1)x + 1 = 0$为一元二次方程，因式分解得$(kx - 1)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{k}$。
因为根是整数，所以$\frac{1}{k}$为整数，整数$k$的值为$\pm1$。
综上，满足条件的整数$k$为$-1$，$0$，$1$，共$3$个。
C

二、填空题
4. 一个一元二次方程的两根分别是$3 + 2\sqrt{2}$和$3 - 2\sqrt{2}$，则这个方程的一般形式可以是.

4. 答案不唯一，如 $ x^{2}-6x+1=0 $

$x^{2}-6x+1=0$

5. 若$x^{2}+3x + 5$的值为 9，则$3x^{2}+9x - 2$的值为.

5. 10

因为$x^{2}+3x + 5 = 9$，所以$x^{2}+3x=9 - 5=4$。
则$3x^{2}+9x - 2=3(x^{2}+3x)-2=3×4 - 2=12 - 2=10$。
10

6. 方程$(2x - 1)^{2}=2x - 1$的根是.

6. $ x_{1}=\frac{1}{2} $，$ x_{2}=1 $

解：$(2x - 1)^{2} - (2x - 1) = 0$
$(2x - 1)(2x - 1 - 1) = 0$
$(2x - 1)(2x - 2) = 0$
$2x - 1 = 0$或$2x - 2 = 0$
解得$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$

三、解答题
7. 关于$x$的一元二次方程$(k + 4)x^{2}+3x + k^{2}+3k - 4 = 0$的一个根为 0，求$k$的值.

7. 1

因为方程$(k + 4)x^{2}+3x + k^{2}+3k - 4 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以二次项系数$k + 4 ≠ 0$，即$k ≠ -4$。
又因为方程的一个根为$0$，将$x = 0$代入方程可得：
$(k + 4) × 0^{2} + 3 × 0 + k^{2} + 3k - 4 = 0$
化简得：$k^{2} + 3k - 4 = 0$
因式分解得：$(k + 4)(k - 1) = 0$
所以$k + 4 = 0$或$k - 1 = 0$，解得$k = -4$或$k = 1$。
因为$k ≠ -4$，所以$k = 1$。
1