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8. 阅读下列解题过程：
已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4} $，试判定 $ △ ABC $ 的形状.
解 $ \because a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4} $， ①
$ \therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) = (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2}) $. ②
$ \therefore c^{2} = a^{2} + b^{2} $. ③
$ \therefore △ ABC $ 为直角三角形.
(1) 上述解题过程，从哪一步开始出现错误?
(2) 错误的原因是什么?
(3) 请写出本题的正确结论.
已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4} $，试判定 $ △ ABC $ 的形状.
解 $ \because a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4} $， ①
$ \therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) = (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2}) $. ②
$ \therefore c^{2} = a^{2} + b^{2} $. ③
$ \therefore △ ABC $ 为直角三角形.
(1) 上述解题过程，从哪一步开始出现错误?
(2) 错误的原因是什么?
(3) 请写出本题的正确结论.
答案
8. (1) ③ (2) $a^{2}-b^{2}$ 有可能为 0 (3) $△ ABC$ 为等腰三角形或直角三角形
解析
【分析】
要判断解题过程的错误，需逐步推导每一步的合理性：
1. 步骤①到②，对等式两边分别因式分解，左边提取公因式$c^2$，右边用平方差公式分解，这一步推导正确；
2. 步骤②到③，直接在等式两边同时除以$(a^2 - b^2)$，但忽略了$(a^2 - b^2)$可能等于0的情况，0不能作为除数，这是关键错误；
3. 正确思路需分情况讨论：当$a^2 - b^2=0$时，$a=b$，三角形为等腰三角形；当$a^2 - b^2≠0$时，可得$c^2=a^2 + b^2$，三角形为直角三角形，因此最终三角形形状为等腰或直角三角形。
【解析】
(1) 观察解题过程，从第③步开始出现错误；
(2) 错误原因是：等式两边同时除以$(a^2 - b^2)$时，未考虑$(a^2 - b^2)=0$的情况，0不能作为除数，直接除会丢失一种可能的情况；
(3) 正确推导如下：
$\because a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4}$，
$\therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) = (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2})$，
$\therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) - (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2})=0$，
$\therefore (a^{2} - b^{2})(c^{2} - a^{2} - b^{2})=0$，
$\therefore a^{2} - b^{2}=0$ 或 $c^{2} - a^{2} - b^{2}=0$，
即$a=b$或$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore △ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【答案】
(1) 第③步；
(2) 忽略了$a^{2}-b^{2}=0$的情况（或等式两边同时除以了可能为0的式子$(a^2 - b^2)$）；
(3) $△ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【知识点】
1. 因式分解的应用；
2. 三角形形状判定；
3. 分类讨论思想。
【点评】
本题考查因式分解与三角形形状判定的结合，核心是等式变形时需注意除数不为0的前提，通过分类讨论思想避免丢失情况，培养严谨的解题逻辑。
【难度系数】
0.6
要判断解题过程的错误，需逐步推导每一步的合理性：
1. 步骤①到②，对等式两边分别因式分解，左边提取公因式$c^2$，右边用平方差公式分解，这一步推导正确；
2. 步骤②到③，直接在等式两边同时除以$(a^2 - b^2)$，但忽略了$(a^2 - b^2)$可能等于0的情况，0不能作为除数，这是关键错误；
3. 正确思路需分情况讨论：当$a^2 - b^2=0$时，$a=b$，三角形为等腰三角形；当$a^2 - b^2≠0$时，可得$c^2=a^2 + b^2$，三角形为直角三角形，因此最终三角形形状为等腰或直角三角形。
【解析】
(1) 观察解题过程，从第③步开始出现错误；
(2) 错误原因是：等式两边同时除以$(a^2 - b^2)$时，未考虑$(a^2 - b^2)=0$的情况，0不能作为除数，直接除会丢失一种可能的情况；
(3) 正确推导如下：
$\because a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4}$，
$\therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) = (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2})$，
$\therefore c^{2}(a^{2} - b^{2}) - (a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2})=0$，
$\therefore (a^{2} - b^{2})(c^{2} - a^{2} - b^{2})=0$，
$\therefore a^{2} - b^{2}=0$ 或 $c^{2} - a^{2} - b^{2}=0$，
即$a=b$或$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore △ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【答案】
(1) 第③步；
(2) 忽略了$a^{2}-b^{2}=0$的情况（或等式两边同时除以了可能为0的式子$(a^2 - b^2)$）；
(3) $△ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【知识点】
1. 因式分解的应用；
2. 三角形形状判定；
3. 分类讨论思想。
【点评】
本题考查因式分解与三角形形状判定的结合，核心是等式变形时需注意除数不为0的前提，通过分类讨论思想避免丢失情况，培养严谨的解题逻辑。
【难度系数】
0.6
9. 已知三角形的三边长分别是 $ n^{2} + 1 $，$ n^{2} - 1 $，$ 2n $，其中 $ n ＞ 1 $，该三角形是不是直角三角形? 如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角.
答案
9. 是，长度为 $n^{2}+1$ 的一边所对的角是直角
解析
【分析】
要判断该三角形是否为直角三角形，需利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。首先需确定三边中的最长边：因为$n＞1$，通过作差比较三边长度，可得$n^2+1$是最长边。接下来计算另外两边的平方和，验证是否等于最长边的平方即可。
【解析】
1. 确定最长边
因为$n＞1$，
$n^2+1 - (n^2-1)=2＞0$，故$n^2+1 ＞ n^2-1$；
$n^2+1 - 2n=(n-1)^2$，由于$n＞1$，$(n-1)^2＞0$，故$n^2+1 ＞ 2n$；
因此$n^2+1$是该三角形的最长边。
2. 验证勾股定理逆定理
计算较短两边的平方和：
$\begin{aligned}(n^2-1)^2 + (2n)^2&=n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4 + 2n^2 + 1\end{aligned}$
计算最长边的平方：
$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$
可见$(n^2-1)^2 + (2n)^2=(n^2+1)^2$，满足勾股定理的逆定理。
所以该三角形是直角三角形，长度为$n^2+1$的边所对的角是直角。
【答案】
是，长度为 $n^{2}+1$ 的一边所对的角是直角
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定最长边，再通过完全平方公式展开计算验证三边的平方关系，需要熟练掌握整式的乘除运算及勾股定理逆定理的判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断该三角形是否为直角三角形，需利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。首先需确定三边中的最长边：因为$n＞1$，通过作差比较三边长度，可得$n^2+1$是最长边。接下来计算另外两边的平方和，验证是否等于最长边的平方即可。
【解析】
1. 确定最长边
因为$n＞1$，
$n^2+1 - (n^2-1)=2＞0$，故$n^2+1 ＞ n^2-1$；
$n^2+1 - 2n=(n-1)^2$，由于$n＞1$，$(n-1)^2＞0$，故$n^2+1 ＞ 2n$；
因此$n^2+1$是该三角形的最长边。
2. 验证勾股定理逆定理
计算较短两边的平方和：
$\begin{aligned}(n^2-1)^2 + (2n)^2&=n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4 + 2n^2 + 1\end{aligned}$
计算最长边的平方：
$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$
可见$(n^2-1)^2 + (2n)^2=(n^2+1)^2$，满足勾股定理的逆定理。
所以该三角形是直角三角形，长度为$n^2+1$的边所对的角是直角。
【答案】
是，长度为 $n^{2}+1$ 的一边所对的角是直角
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定最长边，再通过完全平方公式展开计算验证三边的平方关系，需要熟练掌握整式的乘除运算及勾股定理逆定理的判定条件。
【难度系数】
0.7
