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一、选择题
1. $a$，$b$，$c$ 是$△ ABC$ 的三边长，下列条件中不能说明$△ ABC$ 是直角三角形的是(
A.$b^{2}=(a + c)(a - c)$
B.$a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$∠ A:∠ B:∠ C = 3:4:5$
1. $a$，$b$，$c$ 是$△ ABC$ 的三边长，下列条件中不能说明$△ ABC$ 是直角三角形的是(
D
).A.$b^{2}=(a + c)(a - c)$
B.$a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$∠ A:∠ B:∠ C = 3:4:5$
答案
1. D
解析
【分析】
本题要求找出不能说明$△ABC$是直角三角形的选项，需结合直角三角形的两种判定思路逐一分析：一是利用勾股定理的逆定理，判断三边是否满足“最长边的平方等于另外两边平方和”；二是利用三角形内角和为$180°$，计算角度看是否存在$90°$的角。我们对每个选项依次验证：
1. 对选项A，通过整式变形转化为三边的平方关系，验证是否符合勾股定理逆定理；
2. 对选项B，设出三边的具体表达式，计算平方和看是否满足勾股定理逆定理；
3. 对选项C，结合已知角的关系和内角和定理，计算是否存在直角；
4. 对选项D，按比例设角，利用内角和计算每个角的度数，判断是否有直角。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：
由$b^{2}=(a + c)(a - c)$，展开得$b^2=a^2 - c^2$，移项可得$a^2 = b^2 + c^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ABC$是直角三角形，且$∠A$为直角。
选项B：
设$a=k$，$b=\sqrt{3}k$，$c=2k$（$k＞0$），计算得：
$a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，$c^2=(2k)^2=4k^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ABC$是直角三角形，且$∠C$为直角。
选项C：
已知$∠C=∠A - ∠B$，变形得$∠A = ∠B + ∠C$。
结合三角形内角和$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠A = ∠B + ∠C$代入得：
$∠B + ∠C + ∠B + ∠C = 180°$，即$2∠A=180°$，解得$∠A=90°$，因此$△ABC$是直角三角形。
选项D：
设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，根据三角形内角和为$180°$，有：
$3x + 4x + 5x = 180°$，解得$12x=180°$，$x=15°$。
则$∠A=45°$，$∠B=60°$，$∠C=75°$，三个角均不为$90°$，故$△ABC$不是直角三角形。
综上，不能说明$△ABC$是直角三角形的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，核心是掌握“勾股定理逆定理”和“内角和定理”两种判定方法，解题时需注意对整式的变形、比例设元的细节处理，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题要求找出不能说明$△ABC$是直角三角形的选项，需结合直角三角形的两种判定思路逐一分析：一是利用勾股定理的逆定理，判断三边是否满足“最长边的平方等于另外两边平方和”；二是利用三角形内角和为$180°$，计算角度看是否存在$90°$的角。我们对每个选项依次验证：
1. 对选项A，通过整式变形转化为三边的平方关系，验证是否符合勾股定理逆定理；
2. 对选项B，设出三边的具体表达式，计算平方和看是否满足勾股定理逆定理；
3. 对选项C，结合已知角的关系和内角和定理，计算是否存在直角；
4. 对选项D，按比例设角，利用内角和计算每个角的度数，判断是否有直角。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：
由$b^{2}=(a + c)(a - c)$，展开得$b^2=a^2 - c^2$，移项可得$a^2 = b^2 + c^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ABC$是直角三角形，且$∠A$为直角。
选项B：
设$a=k$，$b=\sqrt{3}k$，$c=2k$（$k＞0$），计算得：
$a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，$c^2=(2k)^2=4k^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ABC$是直角三角形，且$∠C$为直角。
选项C：
已知$∠C=∠A - ∠B$，变形得$∠A = ∠B + ∠C$。
结合三角形内角和$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠A = ∠B + ∠C$代入得：
$∠B + ∠C + ∠B + ∠C = 180°$，即$2∠A=180°$，解得$∠A=90°$，因此$△ABC$是直角三角形。
选项D：
设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，根据三角形内角和为$180°$，有：
$3x + 4x + 5x = 180°$，解得$12x=180°$，$x=15°$。
则$∠A=45°$，$∠B=60°$，$∠C=75°$，三个角均不为$90°$，故$△ABC$不是直角三角形。
综上，不能说明$△ABC$是直角三角形的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，核心是掌握“勾股定理逆定理”和“内角和定理”两种判定方法，解题时需注意对整式的变形、比例设元的细节处理，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 三角形的三个内角比为 $1:2:3$，则这三个内角所对边的比为(
A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:\sqrt{2}:3$
D.$1:\sqrt{3}:2$
D
).A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:\sqrt{2}:3$
D.$1:\sqrt{3}:2$
答案
2. D
解析
设三角形三个内角分别为$x$，$2x$，$3x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x=180°$，解得$x = 30°$。
三个内角分别为$30°$，$60°$，$90°$，此三角形为直角三角形。
设$30°$角所对的直角边为$a$，则斜边为$2a$。
根据勾股定理，另一直角边为$\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
所以三个内角所对边的比为$a:\sqrt{3}a:2a = 1:\sqrt{3}:2$。
D
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x=180°$，解得$x = 30°$。
三个内角分别为$30°$，$60°$，$90°$，此三角形为直角三角形。
设$30°$角所对的直角边为$a$，则斜边为$2a$。
根据勾股定理，另一直角边为$\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
所以三个内角所对边的比为$a:\sqrt{3}a:2a = 1:\sqrt{3}:2$。
D
3. 已知等腰三角形 $ABC$ 的底边 $BC = 2\sqrt{5}\mathrm{ cm}$，$D$ 是腰 $AB$ 上一点，且 $CD = 4\mathrm{ cm}$，$BD = 2\mathrm{ cm}$，则$△ ABC$ 的面积为(
A.$10\mathrm{ cm}^{2}$
B.$6\mathrm{ cm}^{2}$
C.$4\mathrm{ cm}^{2}$
D.$4\sqrt{5}\mathrm{ cm}^{2}$
A
).A.$10\mathrm{ cm}^{2}$
B.$6\mathrm{ cm}^{2}$
C.$4\mathrm{ cm}^{2}$
D.$4\sqrt{5}\mathrm{ cm}^{2}$
答案
3. A
解析
设等腰三角形 $ABC$ 的腰长 $AB = AC = x\ \mathrm{cm}$，则 $AD = AB - BD = (x - 2)\ \mathrm{cm}$。
在 $△ BCD$ 中，由余弦定理得：
$\cos B = \frac{BC^2 + BD^2 - CD^2}{2 · BC · BD} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + 2^2 - 4^2}{2 × 2\sqrt{5} × 2} = \frac{20 + 4 - 16}{8\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
在 $△ ABC$ 中，由余弦定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos B$
即：
$x^2 = x^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 · x · 2\sqrt{5} · \frac{1}{\sqrt{5}}$
化简得：
$0 = 20 - 4x \implies x = 5$
则 $AB = AC = 5\ \mathrm{cm}$，$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$△ ABC$ 的面积为：
$S = \frac{1}{2} · AB · BC · \sin B = \frac{1}{2} × 5 × 2\sqrt{5} × \frac{2\sqrt{5}}{5} = 10\ \mathrm{cm}^2$
A
在 $△ BCD$ 中，由余弦定理得：
$\cos B = \frac{BC^2 + BD^2 - CD^2}{2 · BC · BD} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + 2^2 - 4^2}{2 × 2\sqrt{5} × 2} = \frac{20 + 4 - 16}{8\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
在 $△ ABC$ 中，由余弦定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos B$
即：
$x^2 = x^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 · x · 2\sqrt{5} · \frac{1}{\sqrt{5}}$
化简得：
$0 = 20 - 4x \implies x = 5$
则 $AB = AC = 5\ \mathrm{cm}$，$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$△ ABC$ 的面积为：
$S = \frac{1}{2} · AB · BC · \sin B = \frac{1}{2} × 5 × 2\sqrt{5} × \frac{2\sqrt{5}}{5} = 10\ \mathrm{cm}^2$
A
二、填空题
4. 已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，若 $BC + AC = 14$，$AB = 10$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的面积是
4. 已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，若 $BC + AC = 14$，$AB = 10$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的面积是
24
.答案
4. 24
解析
设 $ AC = a $，$ BC = b $。
因为 $ ∠ C = 90° $，所以由勾股定理得 $ a^2 + b^2 = AB^2 = 10^2 = 100 $。
已知 $ a + b = 14 $，则 $ (a + b)^2 = 14^2 = 196 $，即 $ a^2 + 2ab + b^2 = 196 $。
将 $ a^2 + b^2 = 100 $ 代入上式，得 $ 100 + 2ab = 196 $，解得 $ ab = 48 $。
所以 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24 $。
24
因为 $ ∠ C = 90° $，所以由勾股定理得 $ a^2 + b^2 = AB^2 = 10^2 = 100 $。
已知 $ a + b = 14 $，则 $ (a + b)^2 = 14^2 = 196 $，即 $ a^2 + 2ab + b^2 = 196 $。
将 $ a^2 + b^2 = 100 $ 代入上式，得 $ 100 + 2ab = 196 $，解得 $ ab = 48 $。
所以 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24 $。
24
5. 在一根长为 $24\mathrm{ dm}$ 的绳子 $AD$ 上，分别标出 $B$，$C$ 两个点，它们将绳子分成长为 $6\mathrm{ dm}$，$8\mathrm{ dm}$ 和 $10\mathrm{ dm}$ 的三条线段.自己一只手握住绳子的两个端点(点 $A$ 和点 $D$)，两名同伴分别握住点 $B$ 和点 $C$，一起将绳子拉直，得到的形状是
直角三角形
.答案
5. 直角三角形
解析
【分析】
首先，我们需要明确将绳子拉直后形成的图形是三角形，其三边长度分别为6dm、8dm、10dm。接下来，根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们只需验证这三个长度是否满足此关系，即可判断形状。
【解析】
已知三条线段的长度分别为6dm、8dm、10dm。
计算三边的平方：
$6^2 = 36$，$8^2 = 64$，$10^2 = 100$。
因为$36 + 64 = 100$，即$6^2 + 8^2 = 10^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知由这三条线段围成的三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，明确三角形的三边长度，再通过计算验证平方和关系来判断三角形形状，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要明确将绳子拉直后形成的图形是三角形，其三边长度分别为6dm、8dm、10dm。接下来，根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们只需验证这三个长度是否满足此关系，即可判断形状。
【解析】
已知三条线段的长度分别为6dm、8dm、10dm。
计算三边的平方：
$6^2 = 36$，$8^2 = 64$，$10^2 = 100$。
因为$36 + 64 = 100$，即$6^2 + 8^2 = 10^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知由这三条线段围成的三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何问题，明确三角形的三边长度，再通过计算验证平方和关系来判断三角形形状，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，每个小正方形的边长都相等，$A$，$B$，$C$ 是小正方形的顶点，则$∠ ABC$ 的度数为
45°
.答案
6. 45°
解析
连接AC。设每个小正方形的边长为1。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$AC^{2}+BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}=5 + 5=10$，$AB^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，故$△ ABC$是直角三角形。
又因为$AC = BC=\sqrt{5}$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ABC = 45^{\circ}$。
45°
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$AC^{2}+BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}=5 + 5=10$，$AB^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，故$△ ABC$是直角三角形。
又因为$AC = BC=\sqrt{5}$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ABC = 45^{\circ}$。
45°
三、解答题
7. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中$∠ A$ 和$∠ DBC$ 都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，请问这个零件符合要求吗？为什么？
7. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中$∠ A$ 和$∠ DBC$ 都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，请问这个零件符合要求吗？为什么？
答案
7. 符合要求，利用勾股定理的逆定理
解析
解：在$△ DAB$中，$AD=4$，$AB=3$，$BD=5$，
因为$AD^{2}+AB^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，$BD^{2}=5^{2}=25$，
所以$AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DAB$是直角三角形，$∠ A=90^{\circ}$。
在$△ DBC$中，$BD=5$，$BC=12$，$CD=13$，
因为$BD^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$CD^{2}=13^{2}=169$，
所以$BD^{2}+BC^{2}=CD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DBC$是直角三角形，$∠ DBC=90^{\circ}$。
综上，这个零件符合要求。
因为$AD^{2}+AB^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，$BD^{2}=5^{2}=25$，
所以$AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DAB$是直角三角形，$∠ A=90^{\circ}$。
在$△ DBC$中，$BD=5$，$BC=12$，$CD=13$，
因为$BD^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$CD^{2}=13^{2}=169$，
所以$BD^{2}+BC^{2}=CD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DBC$是直角三角形，$∠ DBC=90^{\circ}$。
综上，这个零件符合要求。
