一、选择题
1. 已知三角形三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足等式 $ (a + b)(a - b) = c^{2} $，则这个三角形是().
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形

1. D

因为$(a + b)(a - b) = c^{2}$，展开左边得$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，移项可得$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
D

2. 如图所示，在正方形网格中标有 $ AB $，$ CD $，$ EF $，$ GH $ 四条线段，其中线段长度能构成一个直角三角形的是().


A.$ CD $，$ EF $，$ GH $
B.$ AB $，$ EF $，$ GH $
C.$ AB $，$ CD $，$ GH $
D.$ AB $，$ CD $，$ EF $

2. B

设正方形网格的边长为1。
计算各线段长度的平方：
$AB$：横向2格，纵向2格，$AB^2=2^2+2^2=8$；
$CD$：横向4格，纵向1格，$CD^2=4^2+1^2=17$；
$EF$：横向1格，纵向2格，$EF^2=1^2+2^2=5$；
$GH$：横向3格，纵向2格，$GH^2=3^2+2^2=13$。
验证选项：
选项B：$AB^2 + EF^2 = 8 + 5 = 13 = GH^2$，满足勾股定理。
答案：B

3. 三角形的三边长为 $ a $，$ b $，$ c $，由下列条件不能判断为直角三角形的是().

A.$ a : b : c = 8 : 16 : 17 $
B.$ a^{2} - b^{2} = c^{2} $
C.$ a^{2} = (b + c)(b - c) $
D.$ a : b : c = 13 : 5 : 12 $

3. A

【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们需要对每个选项逐一分析，验证是否符合这一条件：
1. 对于比例形式的边长，可设每份为$k(k＞0)$，计算三边的平方，看是否满足勾股定理逆定理；
2. 对于等式形式的选项，先对等式进行变形，看是否能转化为勾股定理的形式（即某一边的平方等于另外两边的平方和）。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：设三边长分别为$8k$，$16k$，$17k$（$k＞0$），最长边为$17k$。
计算较短两边的平方和：$(8k)^2 + (16k)^2 = 64k^2 + 256k^2 = 320k^2$，
最长边的平方：$(17k)^2 = 289k^2$，
因为$320k^2 ≠ 289k^2$，不满足勾股定理逆定理，所以该三角形不是直角三角形。
选项B：由$a^2 - b^2 = c^2$，变形可得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形。
选项C：由$a^2 = (b + c)(b - c)$，展开右边得$a^2 = b^2 - c^2$，变形为$a^2 + c^2 = b^2$，符合勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形。
选项D：设三边长分别为$13k$，$5k$，$12k$（$k＞0$），最长边为$13k$。
计算较短两边的平方和：$(5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$，
最长边的平方：$(13k)^2 = 169k^2$，
因为$169k^2 = 169k^2$，满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形。
综上，不能判断为直角三角形的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，需要注意两点：一是判断时要找准最长边，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方；二是对于等式形式的条件，要通过整式变形转化为勾股定理的形式，避免直接判断出错。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 若三角形的一边长为 $ 7 $，另两边长为连续自然数，要使这个三角形为直角三角形，则另两边长分别为.

4. 24，25

设另两边长分别为$n$和$n + 1$（$n$为自然数）。
情况一：当$7$为直角边时，根据勾股定理有$7^2 + n^2 = (n + 1)^2$，展开得$49 + n^2 = n^2 + 2n + 1$，化简得$2n = 48$，解得$n = 24$，则另两边长为$24$，$25$。
情况二：当$7$为斜边时，根据勾股定理有$n^2 + (n + 1)^2 = 7^2$，展开得$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 49$，即$2n^2 + 2n - 48 = 0$，化简得$n^2 + n - 24 = 0$，判别式$\Delta = 1 + 96 = 97$，$n = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{2}$，不是自然数，舍去。
综上，另两边长分别为$24$，$25$。

5. 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 2k $，$ AC = 2k - 1 $，$ BC = 3 $，当 $ k = $时，$ △ ABC $ 为直角三角形.

5. $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{1+\sqrt{17}}{4}$

当$BC$为直角边时，
若$AB$为斜边，则$AB^2=AC^2+BC^2$，
$(2k)^2=(2k-1)^2+3^2$，
$4k^2=4k^2 - 4k + 1 + 9$，
$4k=10$，
$k=\frac{5}{2}$；
若$AC$为斜边，则$AC^2=AB^2+BC^2$，
$(2k - 1)^2=(2k)^2 + 3^2$，
$4k^2 - 4k + 1=4k^2 + 9$，
$-4k=8$，
$k=-2$（边长不能为负，舍去）；
当$BC$为斜边时，$BC^2=AB^2 + AC^2$，
$3^2=(2k)^2 + (2k - 1)^2$，
$9=4k^2 + 4k^2 - 4k + 1$，
$8k^2 - 4k - 8=0$，
$2k^2 - k - 2=0$，
$k=\frac{1\pm\sqrt{1 + 16}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}$，
$k=\frac{1 - \sqrt{17}}{4}$（边长不能为负，舍去），$k=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$；
综上，$k=\frac{5}{2}$或$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$。

6. 用一根长为 $ 12 \, \mathrm{m} $ 的绳子，折成三边长为三个连续自然数的三角形，则三边长分别为，此三角形的面积为.

6. 3 m，4 m，5 m 6 m²

【分析】
首先，题目要求用12m的绳子折成三边长为连续自然数的三角形，我们可以通过设未知数简化计算。由于三边长是连续自然数，设中间的数为$x$，另外两边可表示为$x-1$和$x+1$；接着利用三角形周长等于绳子长度（12m）列出方程，解出$x$后得到三边长；再验证三边是否满足三角形三边关系，确保能构成三角形；最后通过勾股定理逆定理判断三角形类型，进而计算出面积。
【解析】
设三边长中中间的自然数为$ x \, \mathrm{m} $，则另外两边长分别为$ (x-1) \, \mathrm{m} $和$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据三角形周长为12m，可列方程：
$(x-1) + x + (x+1) = 12$
化简方程得：
$3x = 12$
解得：
$x = 4$
因此三边长分别为$ 4-1=3 \, \mathrm{m} $，$ 4 \, \mathrm{m} $，$ 4+1=5 \, \mathrm{m} $。
验证三边关系：
$ 3+4＞5 $，$ 3+5＞4 $，$ 4+5＞3 $，满足三角形三边关系，能构成三角形。
又因为$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 $，根据勾股定理逆定理，此三角形为直角三角形，直角边为3m和4m。
则三角形面积为：
$S = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 \, \mathrm{m^2}$
【答案】
3 m，4 m，5 m；6 m²
【知识点】
一元一次方程应用，三角形三边关系，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查了一元一次方程的应用与三角形的相关性质，通过设未知数建立方程求解边长，再结合三边关系和勾股定理逆定理完成后续验证与面积计算，考查了基础知识的综合运用能力，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 如图所示，在四边形 $ ACBD $ 中，$ DE ⊥ AB $ 于点 $ E $，$ DE = 12 $，$ S_{△ ABD} = 60 $，$ AC = 6 $，$ BC = 8 $，求 $ ∠ C $ 的度数.

7. $\because DE⊥ AB$ 于点 E，$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=60$。$\because DE=12$，$\therefore AB=10$。又 $AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，$AB^{2}=10^{2}=100$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。$\therefore △ ABC$ 是直角三角形，$∠ C=90^{\circ}$

【分析】
要确定$∠ C$的度数，已知$AC$和$BC$的长度，可先求出$AB$的长度，再利用勾股定理的逆定理判断$△ ABC$的形状。首先根据$△ ABD$的面积和高$DE$的长度，通过三角形面积公式求出$AB$的长，再验证$AC^2+BC^2$是否等于$AB^2$，若相等则$△ ABC$是直角三角形，$∠ C$为$90°$。
【解析】
$\because DE ⊥ AB$于点$E$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=60$。
$\because DE=12$，
$\therefore \frac{1}{2}AB×12=60$，
解得$AB=10$。
又$\because AC=6$，$BC=8$，
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$，
$AB^{2}=10^{2}=100$，
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
【答案】
$∠ C=90°$
【知识点】
三角形面积公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合运用三角形面积公式和勾股定理的逆定理求解，关键是通过$△ ABD$的面积求出$AB$的长度，为运用勾股定理的逆定理创造条件，考查了对基础公式和定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7