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16. 如图，将长方形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠(折线 $ EF $ 交 $ AD $ 于点 $ E $，交 $ BC $ 于点 $ F $)，点 $ C $，$ D $ 的落点分别是 $ C' $，$ D' $，$ ED' $ 交 $ BC $ 于点 $ G $. 再将四边形 $ C'D'GF $ 沿 $ FG $ 折叠，点 $ C' $，$ D' $ 的落点分别是 $ C'' $，$ D'' $，$ GD'' $ 交 $ EF $ 于点 $ H $. 有下列四个结论：① $ ∠ GEF = ∠ GFE $；② $ 2 ∠ EFC = ∠ EGC + 180^{\circ} $；③ $ ∠ EGD'' = 2 ∠ EFG $；④ $ ∠ EHG = 3 ∠ EFB $. 其中正确的结论是
①②④
.(填序号)答案
16.①②④
解析
【解析】
1. 结论①的证明：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ DEF=∠ GFE$。由折叠的性质可知$∠ DEF=∠ GEF$，因此$∠ GEF=∠ GFE$，故①正确。
2. 结论②的证明：
由$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ DEG+∠ EGC=180°$。由折叠性质可知$∠ DEG=2∠ DEF$，又因为$AD// BC$，$∠ DEF+∠ EFC=180°$，即$∠ DEF=180°-∠ EFC$。将$∠ DEF=180°-∠ EFC$代入$∠ DEG+∠ EGC=180°$，得$2(180°-∠ EFC)+∠ EGC=180°$，整理得$2∠ EFC=∠ EGC+180°$，故②正确。
3. 结论③的分析：
由折叠性质知$∠ D''GF=∠ D'GF=∠ EGF$，由①知$∠ GEF=∠ GFE$，根据三角形内角和定理，$∠ EGF=180°-2∠ EFG$，因此$∠ EGD''=∠ EGF+∠ D''GF=2∠ EGF=2(180°-2∠ EFG)=360°-4∠ EFG$，显然$∠ EGD''≠2∠ EFG$，故③错误。
4. 结论④的证明：
设$∠ EFB=α$，因为$AD// BC$，所以$∠ AEF=∠ EFB=α$，结合折叠性质与角度等量代换，可推得$∠ EHG=3α=3∠ EFB$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 长方形的性质
2. 折叠的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查平行线性质、折叠性质及三角形角度关系，需要通过严谨的角度等量代换与推导判断结论，对逻辑推理能力有较高要求，是几何折叠问题中的典型题型。
1. 结论①的证明：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ DEF=∠ GFE$。由折叠的性质可知$∠ DEF=∠ GEF$，因此$∠ GEF=∠ GFE$，故①正确。
2. 结论②的证明：
由$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ DEG+∠ EGC=180°$。由折叠性质可知$∠ DEG=2∠ DEF$，又因为$AD// BC$，$∠ DEF+∠ EFC=180°$，即$∠ DEF=180°-∠ EFC$。将$∠ DEF=180°-∠ EFC$代入$∠ DEG+∠ EGC=180°$，得$2(180°-∠ EFC)+∠ EGC=180°$，整理得$2∠ EFC=∠ EGC+180°$，故②正确。
3. 结论③的分析：
由折叠性质知$∠ D''GF=∠ D'GF=∠ EGF$，由①知$∠ GEF=∠ GFE$，根据三角形内角和定理，$∠ EGF=180°-2∠ EFG$，因此$∠ EGD''=∠ EGF+∠ D''GF=2∠ EGF=2(180°-2∠ EFG)=360°-4∠ EFG$，显然$∠ EGD''≠2∠ EFG$，故③错误。
4. 结论④的证明：
设$∠ EFB=α$，因为$AD// BC$，所以$∠ AEF=∠ EFB=α$，结合折叠性质与角度等量代换，可推得$∠ EHG=3α=3∠ EFB$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 长方形的性质
2. 折叠的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查平行线性质、折叠性质及三角形角度关系，需要通过严谨的角度等量代换与推导判断结论，对逻辑推理能力有较高要求，是几何折叠问题中的典型题型。
三、解答题
17. (1) 计算 $ -\sqrt[3]{-8} + \sqrt{(-2)^2} + |\sqrt{4} - 3| $.
(2) 若 $ \sqrt{x - 1} + (3x + y - 1)^2 = 0 $，求 $ \sqrt{5x + y^2} $ 的值.
17. (1) 计算 $ -\sqrt[3]{-8} + \sqrt{(-2)^2} + |\sqrt{4} - 3| $.
(2) 若 $ \sqrt{x - 1} + (3x + y - 1)^2 = 0 $，求 $ \sqrt{5x + y^2} $ 的值.
答案
17.(1)5 (2)3
解析
【解析】
(1) 分步计算各项：
$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$，
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，
$|\sqrt{4} - 3| = |2 - 3| = 1$，
求和得：$2 + 2 + 1 = 5$。
(2) 由于算术平方根和平方数均为非负数，且$\sqrt{x - 1} + (3x + y - 1)^2 = 0$，故：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\3x + y - 1 = 0\end{cases}$
解得$x = 1$，将$x=1$代入$3x + y - 1 = 0$，得$y = -2$。
代入$\sqrt{5x + y^2}$计算：
$\sqrt{5×1 + (-2)^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
实数的混合运算；非负数的性质
【点评】
本题考查实数运算与非负数性质的应用，需熟练掌握立方根、平方根、绝对值的运算规则，牢记“非负数和为0则各非负数均为0”的结论，计算时注意符号与运算顺序即可求解。
(1) 分步计算各项：
$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$，
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，
$|\sqrt{4} - 3| = |2 - 3| = 1$，
求和得：$2 + 2 + 1 = 5$。
(2) 由于算术平方根和平方数均为非负数，且$\sqrt{x - 1} + (3x + y - 1)^2 = 0$，故：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\3x + y - 1 = 0\end{cases}$
解得$x = 1$，将$x=1$代入$3x + y - 1 = 0$，得$y = -2$。
代入$\sqrt{5x + y^2}$计算：
$\sqrt{5×1 + (-2)^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
实数的混合运算；非负数的性质
【点评】
本题考查实数运算与非负数性质的应用，需熟练掌握立方根、平方根、绝对值的运算规则，牢记“非负数和为0则各非负数均为0”的结论，计算时注意符号与运算顺序即可求解。
18. 解方程.
(1) $ (x - 1)^2 = 9 $.
(2) $ (x + 1)^3 = 27 $.
(1) $ (x - 1)^2 = 9 $.
(2) $ (x + 1)^3 = 27 $.
答案
18.(1)$x=4$或$x=-2$. (2)$x=2$.
解析
【解析】
(1) 对等式两边开平方，得$x - 1 = \pm 3$。
当$x - 1 = 3$时，解得$x = 4$；
当$x - 1 = -3$时，解得$x = -2$。
(2) 对等式两边开立方，得$x + 1 = 3$，
解得$x = 2$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=-2$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的应用、立方根的应用
【点评】
本题考查平方根与立方根的定义，需掌握利用开方运算解此类方程的方法，注意平方根有两个互为相反数的结果，立方根只有一个结果。
(1) 对等式两边开平方，得$x - 1 = \pm 3$。
当$x - 1 = 3$时，解得$x = 4$；
当$x - 1 = -3$时，解得$x = -2$。
(2) 对等式两边开立方，得$x + 1 = 3$，
解得$x = 2$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=-2$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的应用、立方根的应用
【点评】
本题考查平方根与立方根的定义，需掌握利用开方运算解此类方程的方法，注意平方根有两个互为相反数的结果，立方根只有一个结果。
19. 如图，已知 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，$ ∠ B = ∠ C $，可推得 $ AB // CD $. 理由如下.
$ \because ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），且 $ ∠ 1 = ∠ CGD $（
$ \therefore ∠ 2 = ∠ CGD $（等式的基本事实）.
$ \therefore CE // BF $（
$ \therefore ∠ $
又 $ \because ∠ B = ∠ C $（已知），
$ \therefore $
$ \therefore AB // CD $（
$ \because ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），且 $ ∠ 1 = ∠ CGD $（
对顶角相等
），$ \therefore ∠ 2 = ∠ CGD $（等式的基本事实）.
$ \therefore CE // BF $（
同位角相等,两直线平行
）.$ \therefore ∠ $
C
$ = ∠ BFD $（两直线平行,同位角相等
）.又 $ \because ∠ B = ∠ C $（已知），
$ \therefore $
$∠ BFD=∠ B$
(等式的基本事实).$ \therefore AB // CD $（
内错角相等,两直线平行
）.答案
19.对顶角相等
同位角相等,两直线平行
C 两直线平行,同位角相等
$∠ BFD=∠ B$
内错角相等,两直线平行
同位角相等,两直线平行
C 两直线平行,同位角相等
$∠ BFD=∠ B$
内错角相等,两直线平行
