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20. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ B = 80^{\circ} $.
(1) 求 $ ∠ BAD $ 的度数.
(2) $ AE $ 平分 $ ∠ BAD $ 交 $ BC $ 于点 $ E $，$ ∠ BCD = 50^{\circ} $. 求证 $ AE // DC $.
(1) 求 $ ∠ BAD $ 的度数.
(2) $ AE $ 平分 $ ∠ BAD $ 交 $ BC $ 于点 $ E $，$ ∠ BCD = 50^{\circ} $. 求证 $ AE // DC $.
答案
20.(1)$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ B+∠ BAD=180^{\circ}$.
$\because ∠ B=80^{\circ}$,
$\therefore ∠ BAD=100^{\circ}$.
(2)$\because AE$平分$∠ BAD$,
$\therefore ∠ DAE=50^{\circ}$.
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ AEB=∠ DAE=50^{\circ}$.
又$\because ∠ BCD=50^{\circ}$,
$\therefore ∠ BCD=∠ AEB$.
$\therefore AE// DC$.
$\therefore ∠ B+∠ BAD=180^{\circ}$.
$\because ∠ B=80^{\circ}$,
$\therefore ∠ BAD=100^{\circ}$.
(2)$\because AE$平分$∠ BAD$,
$\therefore ∠ DAE=50^{\circ}$.
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ AEB=∠ DAE=50^{\circ}$.
又$\because ∠ BCD=50^{\circ}$,
$\therefore ∠ BCD=∠ AEB$.
$\therefore AE// DC$.
21. 在 $ 10 × 10 $ 的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，网格线的交点称为格点，图中 $ A $，$ B $，$ C $ 都是格点. 请用无刻度的直尺画图，并回答相关问题.
(1) 分别写出点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标.
(2) 将三角形 $ ABC $ 作平移变换，得到三角形 $ A'B'C' $，三角形 $ ABC $ 内一点 $ M(x,y) $ 平移后的对应点为 $ M'(x + 5,y - 3) $，画出三角形 $ A'B'C' $.
(3) $ D $ 是线段 $ BC $ 上的格点，在直线 $ A'B' $ 上画点 $ E $，使 $ ∠ DEA' = ∠ A $.
(4) 已知 $ AC = 5 $，在（3）的条件下，$ P $ 是线段 $ DE $ 上的一个动点，$ Q $ 是线段 $ A'C' $ 上的一个动点，直接写出 $ B'P + B'Q $ 的最小值.
(1) 分别写出点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标.
(2) 将三角形 $ ABC $ 作平移变换，得到三角形 $ A'B'C' $，三角形 $ ABC $ 内一点 $ M(x,y) $ 平移后的对应点为 $ M'(x + 5,y - 3) $，画出三角形 $ A'B'C' $.
(3) $ D $ 是线段 $ BC $ 上的格点，在直线 $ A'B' $ 上画点 $ E $，使 $ ∠ DEA' = ∠ A $.
(4) 已知 $ AC = 5 $，在（3）的条件下，$ P $ 是线段 $ DE $ 上的一个动点，$ Q $ 是线段 $ A'C' $ 上的一个动点，直接写出 $ B'P + B'Q $ 的最小值.
答案
21.(1)$A(-3,5),B(-4,3),C(0,1)$.
(2)如图,三角形$A'B'C'$为所求.
(3)如图,取格点$F$,连接$DF$交直线$A'B'$于点$E$,点$E$为所求点.
(4)$\frac{16}{5}$.提示:如图,$B'P+B'Q$的最小值,即为点$B'$到线段$DE$和线段$A'C'$的距离之和.由于$DE$与$A'C'$平行,所求距离即为格点$F$到$A'C'$的距离,在三角形$A'C'F$中运用面积法可求.
