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9. 如图，若棋子“车”的坐标为 $ (-2,-1) $，棋子“马”的坐标为 $ (1,-1) $，则棋子“炮”的坐标为(
A.$ (3,2) $
B.$ (-3,2) $
C.$ (3,-2) $
D.$ (-3,-2) $
C
).A.$ (3,2) $
B.$ (-3,2) $
C.$ (3,-2) $
D.$ (-3,-2) $
答案
9.C
解析
【解析】
根据棋子“车”的坐标$ (-2,-1) $和棋子“马”的坐标$ (1,-1) $，可确定平面直角坐标系的原点为棋盘中心的交叉点，由此可得棋子“炮”的坐标为$ (3,-2) $。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系的应用；坐标确定位置
【点评】
解决此类问题的关键是根据已知点的坐标准确确定坐标系的原点位置，进而求出未知点的坐标。
根据棋子“车”的坐标$ (-2,-1) $和棋子“马”的坐标$ (1,-1) $，可确定平面直角坐标系的原点为棋盘中心的交叉点，由此可得棋子“炮”的坐标为$ (3,-2) $。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系的应用；坐标确定位置
【点评】
解决此类问题的关键是根据已知点的坐标准确确定坐标系的原点位置，进而求出未知点的坐标。
10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形 $ ADCB $ 的边 $ BC $ 平行于 $ x $ 轴. 如果点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,2) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (3,-3) $，把一根长为 2026 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点 $ A $ 处，并按顺时针方向绕在长方形 $ ADCB $ 的边上，则细线的另一端所在位置的坐标为(
A.$ (3,-2) $
B.$ (3,-3) $
C.$ (2,-3) $
D.$ (2,2) $
C
).A.$ (3,-2) $
B.$ (3,-3) $
C.$ (2,-3) $
D.$ (2,2) $
答案
10.C
解析
【解析】
1. 计算长方形的边长：
已知点$ A(-1,2) $，点$ C(3,-3) $，
则$ AD = 3 - (-1) = 4 $，$ AB = 2 - (-3) = 5 $，
长方形$ ADCB $的周长为$ 2×(4+5)=18 $。
2. 计算细线绕的圈数与剩余长度：
$ 2026÷18 = 112······10 $，即细线绕长方形112圈后，剩余10个单位长度。
3. 确定剩余细线的位置：
按顺时针方向从$ A $出发，$ A\to D $走4个单位，剩余$ 10-4=6 $个单位；
$ D\to C $走5个单位，剩余$ 6-5=1 $个单位；
从点$ C(3,-3) $向$ B $方向（x轴负方向）走1个单位，得到坐标为$ (2,-3) $。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标、长方形周长、周期问题
【点评】
本题先通过坐标求出长方形边长与周长，确定周期，再利用除法运算得到剩余细线长度，最后结合路径分析确定端点位置，关键是准确计算周长和剩余长度对应的移动路径。
1. 计算长方形的边长：
已知点$ A(-1,2) $，点$ C(3,-3) $，
则$ AD = 3 - (-1) = 4 $，$ AB = 2 - (-3) = 5 $，
长方形$ ADCB $的周长为$ 2×(4+5)=18 $。
2. 计算细线绕的圈数与剩余长度：
$ 2026÷18 = 112······10 $，即细线绕长方形112圈后，剩余10个单位长度。
3. 确定剩余细线的位置：
按顺时针方向从$ A $出发，$ A\to D $走4个单位，剩余$ 10-4=6 $个单位；
$ D\to C $走5个单位，剩余$ 6-5=1 $个单位；
从点$ C(3,-3) $向$ B $方向（x轴负方向）走1个单位，得到坐标为$ (2,-3) $。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标、长方形周长、周期问题
【点评】
本题先通过坐标求出长方形边长与周长，确定周期，再利用除法运算得到剩余细线长度，最后结合路径分析确定端点位置，关键是准确计算周长和剩余长度对应的移动路径。
二、填空题
11. 4 的算术平方根是
11. 4 的算术平方根是
2
；9 的平方根是±3
；$ -27 $ 的立方根是-3
.答案
11.2 ±3 -3
解析
【解析】
1. 根据算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2 = a$，则$x$是$a$的算术平方根。因为$2^2 = 4$，所以4的算术平方根是2；
2. 根据平方根的定义：若数$x$满足$x^2 = a$，则$x$是$a$的平方根。因为$(\pm3)^2 = 9$，所以9的平方根是$\pm3$；
3. 根据立方根的定义：若数$x$满足$x^3 = a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-3)^3 = -27$，所以-27的立方根是-3。
【答案】
2；$\pm3$；-3
【知识点】
算术平方根；平方根；立方根
【点评】
本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是求解此类问题的核心。
1. 根据算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2 = a$，则$x$是$a$的算术平方根。因为$2^2 = 4$，所以4的算术平方根是2；
2. 根据平方根的定义：若数$x$满足$x^2 = a$，则$x$是$a$的平方根。因为$(\pm3)^2 = 9$，所以9的平方根是$\pm3$；
3. 根据立方根的定义：若数$x$满足$x^3 = a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-3)^3 = -27$，所以-27的立方根是-3。
【答案】
2；$\pm3$；-3
【知识点】
算术平方根；平方根；立方根
【点评】
本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是求解此类问题的核心。
12. 如图，数轴上表示 $ 1 $，$ \sqrt{3} $ 的对应点分别为 $ A $，$ B $，若 $ A $ 是 $ BC $ 的中点，则点 $ C $ 表示的数为
$2-\sqrt{3}$
.答案
12.$2-\sqrt{3}$
解析
【解析】
设点$ C $表示的数为$ x $。
因为$ A $是$ BC $的中点，点$ A $表示的数为$ 1 $，点$ B $表示的数为$ \sqrt{3} $，根据数轴上中点的性质，可得：
$\frac{x + \sqrt{3}}{2} = 1$
解方程得：
$ x + \sqrt{3} = 2 $
$ x = 2 - \sqrt{3} $
即点$ C $表示的数为$ 2 - \sqrt{3} $。
【答案】
$ 2-\sqrt{3} $
【知识点】
数轴中点公式、实数与数轴的对应关系
【点评】
本题利用数轴中点的性质建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握数轴上点的运算规律。
设点$ C $表示的数为$ x $。
因为$ A $是$ BC $的中点，点$ A $表示的数为$ 1 $，点$ B $表示的数为$ \sqrt{3} $，根据数轴上中点的性质，可得：
$\frac{x + \sqrt{3}}{2} = 1$
解方程得：
$ x + \sqrt{3} = 2 $
$ x = 2 - \sqrt{3} $
即点$ C $表示的数为$ 2 - \sqrt{3} $。
【答案】
$ 2-\sqrt{3} $
【知识点】
数轴中点公式、实数与数轴的对应关系
【点评】
本题利用数轴中点的性质建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握数轴上点的运算规律。
13. 如图，直线 $ a // b $，直线 $ l $ 与直线 $ a $ 相交于点 $ P $，与直线 $ b $ 相交于点 $ Q $，$ PM ⊥ l $，垂足为 $ P $. 若 $ ∠ 1 = 50^{\circ} $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为
$40^{\circ}$
.答案
13.$40^{\circ}$
解析
【解析】
因为直线 $a // b$，根据平行线的性质，同位角相等，所以 $∠APL = ∠1 = 50^{\circ}$。
又因为 $PM ⊥ l$，所以 $∠MPL = 90^{\circ}$，即 $∠2 + ∠APL = 90^{\circ}$。
因此 $∠2 = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
【答案】
$40^{\circ}$
【知识点】
平行线的性质、垂线的定义
【点评】
本题考查平行线与垂线的性质的综合应用，属于基础题，解题关键是利用平行线性质找到相等的角，再结合直角的性质计算所求角度。
因为直线 $a // b$，根据平行线的性质，同位角相等，所以 $∠APL = ∠1 = 50^{\circ}$。
又因为 $PM ⊥ l$，所以 $∠MPL = 90^{\circ}$，即 $∠2 + ∠APL = 90^{\circ}$。
因此 $∠2 = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
【答案】
$40^{\circ}$
【知识点】
平行线的性质、垂线的定义
【点评】
本题考查平行线与垂线的性质的综合应用，属于基础题，解题关键是利用平行线性质找到相等的角，再结合直角的性质计算所求角度。
14. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过. 若第一次拐角 $ ∠ A = 130^{\circ} $，第二次拐角 $ ∠ B = 150^{\circ} $，第三次拐角是 $ ∠ C $，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 $ ∠ C $ 的度数为
$160^{\circ}$
.答案
14.$160^{\circ}$
解析
【解析】
过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路），设最终道路为CF，由题意知AE//CF，故BD//CF。
根据平行线的性质：
1. 因为BD//AE，所以∠A=∠ABD=130°（两直线平行，内错角相等）；
2. 已知∠ABC=150°，则∠DBC=∠ABC - ∠ABD=150°-130°=20°；
3. 因为BD//CF，所以∠C + ∠DBC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
因此∠C=180°-20°=160°。
【答案】
$160^{\circ}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，通过作辅助线构造平行线，将拐角的角度关系进行转化，是解决此类折线拐角问题的常用方法，需熟练掌握平行线的角度转化逻辑。
过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路），设最终道路为CF，由题意知AE//CF，故BD//CF。
根据平行线的性质：
1. 因为BD//AE，所以∠A=∠ABD=130°（两直线平行，内错角相等）；
2. 已知∠ABC=150°，则∠DBC=∠ABC - ∠ABD=150°-130°=20°；
3. 因为BD//CF，所以∠C + ∠DBC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
因此∠C=180°-20°=160°。
【答案】
$160^{\circ}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，通过作辅助线构造平行线，将拐角的角度关系进行转化，是解决此类折线拐角问题的常用方法，需熟练掌握平行线的角度转化逻辑。
15. 在平面直角坐标系中，线段 $ A'B' $ 是由线段 $ AB $ 经过平移得到的，已知点 $ A(-2,1) $ 的对应点为 $ A'(3,-1) $，点 $ B $ 的对应点为 $ B'(4,0) $，则点 $ B $ 的坐标为
$(-1,2)$
.答案
15.$(-1,2)$
解析
【解析】
根据点A(-2,1)的对应点A'(3,-1)，确定平移规律：横坐标增加3 - (-2) = 5，纵坐标减少1 - (-1) = 2，即向右平移5个单位，向下平移2个单位。
已知点B的对应点为B'(4,0)，将B'反向平移（向左平移5个单位，向上平移2个单位），可得点B的坐标：横坐标4 - 5 = -1，纵坐标0 + 2 = 2，即点B的坐标为(-1,2)。
【答案】
$(-1,2)$
【知识点】
坐标与图形平移
【点评】
本题核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律，通过已知对应点的坐标变化推导平移方向和距离，再反向运算求出原点点坐标，是点的平移的基础应用。
根据点A(-2,1)的对应点A'(3,-1)，确定平移规律：横坐标增加3 - (-2) = 5，纵坐标减少1 - (-1) = 2，即向右平移5个单位，向下平移2个单位。
已知点B的对应点为B'(4,0)，将B'反向平移（向左平移5个单位，向上平移2个单位），可得点B的坐标：横坐标4 - 5 = -1，纵坐标0 + 2 = 2，即点B的坐标为(-1,2)。
【答案】
$(-1,2)$
【知识点】
坐标与图形平移
【点评】
本题核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律，通过已知对应点的坐标变化推导平移方向和距离，再反向运算求出原点点坐标，是点的平移的基础应用。
