6. (2023·内蒙古)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A 点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 B 点和 C 点，行进路线为 A→B→C→A. B 点在 A 点的南偏东 25°方向 $3\sqrt{2}$ km 处，C 点在 A 点的北偏东 80°方向，行进路线 AB 和 BC 所在直线的夹角∠ABC 为 45°.求：
(1) 行进路线 BC 和 CA 所在直线的夹角∠BCA 的度数；
(2) 检查点 B 和 C 之间的距离(结果保留根号).

6.(1)由题意得∠MAC=80°,∠BAN=25°,
∴∠CAB=180°−∠MAC−∠BAN=75°.
∵∠ABC=45°,
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°.
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°;
(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ABD中,AB=$3\sqrt{2}$km,∠ABC=45°,
∴AD=AB·sin45°=$3\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3(km),BD=AB·cos45°=$3\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3(km).在Rt△ADC中,∠ACB=60°,CD=$\frac{AD}{\tan60^{\circ}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$(km),
∴BC=BD+CD=(3+ $\sqrt{3}$)km.
∴检查点B和C之间的距离为(3+$\sqrt{3}$)km.

7. (2024·辽宁)如图 1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图 2，此时测得点 A 到 BC 所在直线的距离 AC = 3 m，∠CAB = 60°，停止位置示意图如图 3，此时测得∠CDB = 37°(点 C，A，D 在同一直线上，且直线 CD 与地面平行)，图 3 中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.求：
(1) AB 的长；
(2) 物体上升的高度 CE(结果精确到 0.1 m).
(参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$，$\sqrt{3} \approx 1.73$)

7.(1)在Rt△ABC中,AC=3m,∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6m,则AB的长为6m;
(2)在Rt△ABC中,AB=6m,AC=3m,根据勾股定理得BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$m,在Rt△BCD中,∠CDB=37°,sin37°≈0.60,$\sqrt{3}\approx1.73$,
∴sin∠CDB=$\frac{BC}{BD}$,即$\frac{3×1.73}{BD}\approx0.60$,
∴BD≈8.65m,
∴CE=BD−BA=8.65−6=2.65≈2.7(m),则物体上升的高度CE约为2.7m.

8. (2024·大庆)如图，CD 是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路 l 上由北向南行驶，在 A 处测得桥头 C 在南偏东 30°方向上，继续行驶 1 500 米后到达 B 处，测得桥头 C 在南偏东 60°方向上，桥头 D 在南偏东 45°方向上，求大桥 CD 的长度. (结果精确到 1 米，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$)

8.分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为点M,N，在Rt△CBM中，tan∠CBM=$\frac{CM}{BM}=\sqrt{3}$,所以CM=$\sqrt{3}$BM,在Rt△ACM中,tanA=$\frac{CM}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}BM}{1500+BM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,则BM=750,
∴CM=$750\sqrt{3}$(米),
∴DN=CM=$750\sqrt{3}$(米).在Rt△DBN中,tan∠DBN=$\frac{DN}{BN}=1$,
∴BN=DN=$750\sqrt{3}$,
∴MN=BN−BM=$(750\sqrt{3}-750)$米,则CD=MN=$750\sqrt{3}-750\approx548$(米),故大桥CD的长为548米.