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2. 填空.
(1)四边形与平行四边形的关系：
(1)四边形与平行四边形的关系：
答案
(1) 两组对边分别平行 (2) ① 平行且相等 ② 相等；互补 ③ 互相平分
@@(1) 两组对边分别平行
@@(1) 两组对边分别平行
(2)平行四边形的性质：
① 平行四边形的对边 .
② 平行四边形的对角 ，邻角 .
③ 平行四边形的对角线 .
① 平行四边形的对边 .
② 平行四边形的对角 ，邻角 .
③ 平行四边形的对角线 .
答案
(2) ① 平行且相等
② 相等；互补
③ 互相平分
② 相等；互补
③ 互相平分
合作学习
如图，在平行四边形$ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ CD$于点$F$.
（1）若$∠ EAF = 60°$，求$∠ C$的度数；
（2）若$AE = 3$，$BC = 5$，$CD = 4$，求$AF$的长.
如图，在平行四边形$ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ CD$于点$F$.
（1）若$∠ EAF = 60°$，求$∠ C$的度数；
（2）若$AE = 3$，$BC = 5$，$CD = 4$，求$AF$的长.
答案
（1）在四边形AECF中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
四边形内角和为360°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF=360°-90°-90°-60°=120°。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AB=CD=4，
平行四边形面积=BC×AE=CD×AF，
即5×3=4×AF，
解得AF=15/4。
（1）120°；（2）15/4
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
四边形内角和为360°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF=360°-90°-90°-60°=120°。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AB=CD=4，
平行四边形面积=BC×AE=CD×AF，
即5×3=4×AF，
解得AF=15/4。
（1）120°；（2）15/4
1. 如图所示，在$□ ABCD$中，$DE ⊥ AB$，$BF ⊥ CD$，垂足分别为点$E,F$. 求证：$AE = CF$.
注意：距离是几何中的重要度量之一，前面我们学习了点与点之间的距离、点到直线的距离. 在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
注意：距离是几何中的重要度量之一，前面我们学习了点与点之间的距离、点到直线的距离. 在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
答案
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB = CD$， $AD = BC$， $∠ A = ∠ C$（平行四边形的对边相等，对角相等）。
∵ $DE ⊥ AB$， $BF ⊥ CD$，
∴ $∠ AED = ∠ CFB = 90°$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\ ∠ AED = ∠ CFB, \\ AD = CB.\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（AAS）。
∴ $AE = CF$（全等三角形的对应边相等）。
∴ $AB = CD$， $AD = BC$， $∠ A = ∠ C$（平行四边形的对边相等，对角相等）。
∵ $DE ⊥ AB$， $BF ⊥ CD$，
∴ $∠ AED = ∠ CFB = 90°$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\ ∠ AED = ∠ CFB, \\ AD = CB.\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（AAS）。
∴ $AE = CF$（全等三角形的对应边相等）。
2. 两条平行线间的距离.
两条平行线中，从其中一条直线上的任意一点向另一条直线作的 的长度叫这两条 .
两条平行线中，从其中一条直线上的任意一点向另一条直线作的 的长度叫这两条 .
答案
垂线段；平行线间的距离
3. 如图，直线$l_1 // l_2$.
(1)若$AB // DC$，$AB = 12$，则$DC = $.
(2)若$AE ⊥ l_2$，$DF ⊥ l_2$，则 ，已知$AE = 10$，则平行线$l_1,l_2$之间的距离为 .
(1)若$AB // DC$，$AB = 12$，则$DC = $.
(2)若$AE ⊥ l_2$，$DF ⊥ l_2$，则 ，已知$AE = 10$，则平行线$l_1,l_2$之间的距离为 .
答案
(1)
由于$l_1 // l_1$且$AB // DC$，
根据平行四边形的性质，四边形$ABCD$是一个平行四边形，
所以$DC = AB = 12$，
故$DC$的长度为$12$。
(2)
由于$AE ⊥ l_2$且$DF ⊥ l_2$，
所以$AE // DF$，
因为$ l_1 // l_2$，
所以四边形$AEFD$是一个矩形，
所以$AE = DF = 10$，
平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$10$，
故$AE=DF$；平行线之间的距离为$10$。
由于$l_1 // l_1$且$AB // DC$，
根据平行四边形的性质，四边形$ABCD$是一个平行四边形，
所以$DC = AB = 12$，
故$DC$的长度为$12$。
(2)
由于$AE ⊥ l_2$且$DF ⊥ l_2$，
所以$AE // DF$，
因为$ l_1 // l_2$，
所以四边形$AEFD$是一个矩形，
所以$AE = DF = 10$，
平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$10$，
故$AE=DF$；平行线之间的距离为$10$。
1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC$，$∠ BCD$的平分线分别交$AD$于点$E,F$，$BE,CF$相交于点$G$.
(1)求证：$BE ⊥ CF$.
(2)若$AB = 5$，$CF = 6$，求$BE$的长.
(1)求证：$BE ⊥ CF$.
(2)若$AB = 5$，$CF = 6$，求$BE$的长.
答案
1. (1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD，$
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°。$
∵$BE$平分$∠ ABC，$$CF$平分$∠ BCD，$
∴$∠ GBC=\frac{1}{2}∠ ABC，$$∠ GCB=\frac{1}{2}∠ BCD，$
∴$∠ GBC+∠ GCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°，$
∴$∠ BGC=90°，$即$BE⊥ CF。$
(2) 解：
延长$BE$交$CD$的延长线于点$P，$
∵$AB// CD，$
∴$∠ ABE=∠ P。$
∵$BE$平分$∠ ABC，$
∴$∠ ABE=∠ CBE，$
∴$∠ CBE=∠ P，$
∴$CB=CP。$
∵$CF⊥ BE，$
∴$BE=EP$（等腰三角形三线合一）。
∵$AB// CD，$
∴$∠ A=∠ EDP。$
∵$BE$平分$∠ ABC，$$AB// CD，$
∴$∠ ABE=∠ AEB，$
∴$AE=AB=5，$同理$DF=CD=5，$
∴$DE=AD-AE=BC-5，$又$CP=BC=CD+DP=5+DP，$
∴$DP=BC-5=DE。$
在$△ ABE$和$△ DPE$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ A=∠ EDP\\ AE=DE\\ ∠ AEB=∠ DEP\end{array} $
∴$△ ABE≌△ DPE$（ASA），
∴$AB=DP=5，$
∴$CP=CD+DP=5+5=10。$
在$Rt△ CFP$中，$CF=6，$$CP=10，$
由勾股定理得$FP=\sqrt{CP^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8，$
∵$BE=EP，$$BP=BE+EP=2BE，$且$BP=2FP，$
∴$BE=FP=8。$
