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17. (10分)解方程组:
(1)$\begin{cases} y=5-x,\\ x-y=-1;\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x-y=5,\\ 3x+4y=2。\\ \end{cases}$
(1)$\begin{cases} y=5-x,\\ x-y=-1;\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x-y=5,\\ 3x+4y=2。\\ \end{cases}$
答案
17.(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=3;\\ \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=2,\\ y=-1.\\ \end{cases}$
解析
1
18. (5分)已知$x^{2}+x-6=0$,求代数式$(x-1)^{2}-x(x-3)+(x+2)(x-2)$的值。
答案
18.解:$x^{2}+x-3$,原式$=3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先化简待求的代数式，再结合已知条件进行整体代入计算，避免直接解方程的繁琐步骤。首先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式将代数式展开，然后合并同类项化简；接着从已知方程$x^{2}+x-6=0$中得出$x^{2}+x=6$，最后将其代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
步骤1：化简代数式
$\begin{aligned}&(x-1)^{2}-x(x-3)+(x+2)(x-2)\\=&x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 3x) + (x^2 - 4)\\=&x^2 - 2x + 1 - x^2 + 3x + x^2 - 4\\=&(x^2 - x^2 + x^2) + (-2x + 3x) + (1 - 4)\\=&x^2 + x - 3\end{aligned}$
步骤2：利用已知条件整体代入
已知$x^{2}+x-6=0$，移项可得$x^{2}+x=6$。
将$x^{2}+x=6$代入化简后的式子：
$x^2 + x - 3 = 6 - 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算、整体代入求值、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，重点运用了完全平方公式、平方差公式及合并同类项法则，通过整体代入的方法简化了计算过程，体现了整体思想在代数运算中的重要性，有助于提升学生简化运算的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以先化简待求的代数式，再结合已知条件进行整体代入计算，避免直接解方程的繁琐步骤。首先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式将代数式展开，然后合并同类项化简；接着从已知方程$x^{2}+x-6=0$中得出$x^{2}+x=6$，最后将其代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
步骤1：化简代数式
$\begin{aligned}&(x-1)^{2}-x(x-3)+(x+2)(x-2)\\=&x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 3x) + (x^2 - 4)\\=&x^2 - 2x + 1 - x^2 + 3x + x^2 - 4\\=&(x^2 - x^2 + x^2) + (-2x + 3x) + (1 - 4)\\=&x^2 + x - 3\end{aligned}$
步骤2：利用已知条件整体代入
已知$x^{2}+x-6=0$，移项可得$x^{2}+x=6$。
将$x^{2}+x=6$代入化简后的式子：
$x^2 + x - 3 = 6 - 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算、整体代入求值、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，重点运用了完全平方公式、平方差公式及合并同类项法则，通过整体代入的方法简化了计算过程，体现了整体思想在代数运算中的重要性，有助于提升学生简化运算的能力。
【难度系数】
0.8
19. (10分)漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们生活带来很多困扰。为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,特随机调查了部分市民问卷调查如下所示,并根据调查结果绘制如下两个不完整统计图。
治理杨絮,您选择哪一项?单选
A. 减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量
B. 调整杨树结构,逐渐更换现有杨树
C. 选用无絮杨树品种,并推广种植
D. 对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮
E. 其他
根据以上统计图,回答下列问题:
(1)本次接受调查的人数为
(2)扇形统计图中,扇形A的圆心角度数;
(3)请补全条形统计图。
治理杨絮,您选择哪一项?单选
A. 减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量
B. 调整杨树结构,逐渐更换现有杨树
C. 选用无絮杨树品种,并推广种植
D. 对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮
E. 其他
根据以上统计图,回答下列问题:
(1)本次接受调查的人数为
2000
人;(2)扇形统计图中,扇形A的圆心角度数;
(3)请补全条形统计图。
答案
19.解:(1)$2000$
(2)扇形统计图中,扇形 A 的圆心角度数是$360°×\dfrac{300}{2000}=54°$;
(3)D种方式的人数为$2000×25\%=500$(人)。
补全条形图如下:
解析
【分析】
1. 第(1)问：从统计图中可知C方式的人数为800，且在扇形图中占比40%，根据“总人数=部分人数÷对应百分比”，即可求出调查总人数。
2. 第(2)问：扇形统计图中某部分的圆心角度数=360°×该部分人数占总人数的比例，已知A方式人数和总人数，代入公式计算即可。
3. 第(3)问：先根据总人数和D方式的百分比求出D方式的人数，再依据计算结果补全条形统计图。
【解析】
(1) 已知C方式人数为800，占总人数的40%，则总人数为：
$800÷40\% = 2000$（人）
(2) 扇形A的圆心角度数为：
$360°×\dfrac{300}{2000}=54°$
(3) D种方式的人数为：
$2000×25\% = 500$（人）
补全条形统计图如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{2000}$
(2) $\boldsymbol{54°}$
(3) D种方式人数为500人，补全条形图如下：
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、统计量计算
【点评】
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题核心是从两种统计图中提取有效信息，利用总人数、部分人数、百分比的关系进行计算，侧重对统计基础概念和运算能力的考查，题目贴近生活，便于理解。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：从统计图中可知C方式的人数为800，且在扇形图中占比40%，根据“总人数=部分人数÷对应百分比”，即可求出调查总人数。
2. 第(2)问：扇形统计图中某部分的圆心角度数=360°×该部分人数占总人数的比例，已知A方式人数和总人数，代入公式计算即可。
3. 第(3)问：先根据总人数和D方式的百分比求出D方式的人数，再依据计算结果补全条形统计图。
【解析】
(1) 已知C方式人数为800，占总人数的40%，则总人数为：
$800÷40\% = 2000$（人）
(2) 扇形A的圆心角度数为：
$360°×\dfrac{300}{2000}=54°$
(3) D种方式的人数为：
$2000×25\% = 500$（人）
补全条形统计图如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{2000}$
(2) $\boldsymbol{54°}$
(3) D种方式人数为500人，补全条形图如下：
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、统计量计算
【点评】
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题核心是从两种统计图中提取有效信息，利用总人数、部分人数、百分比的关系进行计算，侧重对统计基础概念和运算能力的考查，题目贴近生活，便于理解。
【难度系数】
0.7
20. (10分)如图,四边形ABCD中,$∠ A=∠ C=90°$,BE平分$∠ ABC$交CD于点E,DF平分$∠ ADC$交AB于点F。
(1)若 $∠ ABC = 60°$, 则 $∠ ADC =$
(2)试说明:$BE// DF$。
(1)若 $∠ ABC = 60°$, 则 $∠ ADC =$
120
$°$,$∠ AFD=$30
$°$;(2)试说明:$BE// DF$。
答案
20.(1)$120$ $30$
(2)证明:四边形$ABCD$中,$∠ A=∠ C=90°$,
所以$∠ ADC+∠ ABC=180°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$,$DF$平分$∠ ADC$
交$AB$于点$F$,
所以$∠ ADF=∠ FDC$,$∠ ABE=∠ CBE$,
所以$∠ ABE+∠ FDC=90°$。
因为$∠ AFD+∠ ADF=90°$,$∠ ADF=∠ FDC$,
所以$∠ AFD=∠ ABE$,
所以$BE// DF$。
(2)证明:四边形$ABCD$中,$∠ A=∠ C=90°$,
所以$∠ ADC+∠ ABC=180°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$,$DF$平分$∠ ADC$
交$AB$于点$F$,
所以$∠ ADF=∠ FDC$,$∠ ABE=∠ CBE$,
所以$∠ ABE+∠ FDC=90°$。
因为$∠ AFD+∠ ADF=90°$,$∠ ADF=∠ FDC$,
所以$∠ AFD=∠ ABE$,
所以$BE// DF$。
解析
【分析】
(1) 首先利用四边形内角和为360°，结合已知的两个直角，可求出∠ADC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ADF的度数，最后在Rt△AFD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠AFD的度数。
(2) 要证明$BE// DF$，可通过同位角相等来证明。先由四边形内角和得出∠ADC与∠ABC互补，再结合角平分线的性质得到∠ABE与∠FDC的和为90°，接着利用直角三角形两锐角互余得出∠AFD与∠ADF的和为90°，通过等量代换得到∠AFD=∠ABE，从而根据同位角相等，两直线平行证明结论。
【解析】
(1) 在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ C=90°$，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ ADC = 360° - ∠ A - ∠ C - ∠ ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$。
因为$DF$平分$∠ ADC$，所以$∠ ADF = \frac{1}{2}∠ ADC = \frac{1}{2}×120° = 60°$。
在$Rt△ AFD$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ AFD = 90° - ∠ ADF = 90° - 60° = 30°$。
(2) 证明：
在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ C=90°$，
所以$∠ ADC + ∠ ABC = 360° - ∠ A - ∠ C = 180°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，$DF$平分$∠ ADC$，
所以$∠ ADF = ∠ FDC = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ ABE = ∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
则$∠ ABE + ∠ FDC = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ADC) = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
在$Rt△ AFD$中，$∠ A=90°$，所以$∠ AFD + ∠ ADF = 90°$，
又因为$∠ ADF = ∠ FDC$，
所以$∠ AFD + ∠ FDC = 90°$，
结合$∠ ABE + ∠ FDC = 90°$，可得$∠ AFD = ∠ ABE$，
根据同位角相等，两直线平行，所以$BE// DF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{30}$；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
四边形内角和，角平分线的性质，平行线的判定
【点评】
本题考查了四边形内角和、角平分线性质以及平行线的判定，解题关键是熟练掌握相关性质定理，通过角度之间的等量代换找到平行线的判定条件。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用四边形内角和为360°，结合已知的两个直角，可求出∠ADC的度数；再根据角平分线的定义求出∠ADF的度数，最后在Rt△AFD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠AFD的度数。
(2) 要证明$BE// DF$，可通过同位角相等来证明。先由四边形内角和得出∠ADC与∠ABC互补，再结合角平分线的性质得到∠ABE与∠FDC的和为90°，接着利用直角三角形两锐角互余得出∠AFD与∠ADF的和为90°，通过等量代换得到∠AFD=∠ABE，从而根据同位角相等，两直线平行证明结论。
【解析】
(1) 在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ C=90°$，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ ADC = 360° - ∠ A - ∠ C - ∠ ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$。
因为$DF$平分$∠ ADC$，所以$∠ ADF = \frac{1}{2}∠ ADC = \frac{1}{2}×120° = 60°$。
在$Rt△ AFD$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ AFD = 90° - ∠ ADF = 90° - 60° = 30°$。
(2) 证明：
在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ C=90°$，
所以$∠ ADC + ∠ ABC = 360° - ∠ A - ∠ C = 180°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，$DF$平分$∠ ADC$，
所以$∠ ADF = ∠ FDC = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ ABE = ∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
则$∠ ABE + ∠ FDC = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ADC) = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
在$Rt△ AFD$中，$∠ A=90°$，所以$∠ AFD + ∠ ADF = 90°$，
又因为$∠ ADF = ∠ FDC$，
所以$∠ AFD + ∠ FDC = 90°$，
结合$∠ ABE + ∠ FDC = 90°$，可得$∠ AFD = ∠ ABE$，
根据同位角相等，两直线平行，所以$BE// DF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{30}$；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
四边形内角和，角平分线的性质，平行线的判定
【点评】
本题考查了四边形内角和、角平分线性质以及平行线的判定，解题关键是熟练掌握相关性质定理，通过角度之间的等量代换找到平行线的判定条件。
【难度系数】
0.6
21. (10分)某文具商店销售A,B两种中性笔,购买20支A品牌和30支B品牌的中性笔共需156元;购买30支A品牌和10支B品牌的中性笔共需122元。
(1)求这两种中性笔的单价;
(2)学校开学前夕,该商店对这两种中性笔开展了促销活动,具体办法如下:
A品牌中性笔按原价的八折销售,B品牌中性笔5支以上超出部分按原价的七折销售。设购买x支A品牌的中性笔需要$y_{1}$元,购买x支B品牌的中性笔需要$y_{2}$元,若购买中性笔的数量超过5支,分别用含x的式子表示出$y_{1}$和$y_{2}$。
(1)求这两种中性笔的单价;
(2)学校开学前夕,该商店对这两种中性笔开展了促销活动,具体办法如下:
A品牌中性笔按原价的八折销售,B品牌中性笔5支以上超出部分按原价的七折销售。设购买x支A品牌的中性笔需要$y_{1}$元,购买x支B品牌的中性笔需要$y_{2}$元,若购买中性笔的数量超过5支,分别用含x的式子表示出$y_{1}$和$y_{2}$。
答案
21.解:(1)A种品牌的中性笔的单价为3元,B种品牌的中性笔的单价为$3.2$元;
(2)根据题意得$y_{1}=0.8· 3x=2.4x$,
当$x＞5$,$y_{2}=3.2×5+0.7×3.2(x-5)=2.24x+4.8$。
(2)根据题意得$y_{1}=0.8· 3x=2.4x$,
当$x＞5$,$y_{2}=3.2×5+0.7×3.2(x-5)=2.24x+4.8$。
解析
【分析】
1. 第(1)问是典型的二元一次方程组应用问题，解题思路是先设A、B两种中性笔的单价分别为未知数，再根据题目中两次购买的总价条件，列出两个方程组成方程组，通过解方程组求出单价。
2. 第(2)问需结合促销规则推导函数关系式：
A品牌按原价八折销售，直接用原价乘折扣再乘购买数量即可得到$y_1$的表达式；
B品牌是分段计费，购买数量超过5支时，前5支按原价付款，超出的部分按原价七折付款，将两部分费用相加就能得到$x＞5$时$y_2$的表达式。
【解析】
(1) 设A品牌中性笔的单价为$a$元，B品牌中性笔的单价为$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20a + 30b = 156 \\30a + 10b = 122\end{cases}$
将第二个方程两边乘3得：$90a + 30b = 366$
用该方程减去第一个方程：
$\begin{aligned}90a + 30b - (20a + 30b) &= 366 - 156 \\70a &= 210 \\a &= 3\end{aligned}$
把$a=3$代入$30a + 10b = 122$：
$30×3 + 10b = 122 \\10b = 32 \\b = 3.2$
(2) A品牌按原价八折销售，原价为3元，因此：
$y_{1}=0.8×3x=2.4x$
当$x＞5$时，B品牌前5支按原价付款，超出部分按七折付款：
$\begin{aligned}y_{2}&=3.2×5 + 0.7×3.2(x-5) \\&=16 + 2.24(x-5) \\&=2.24x + 4.8\end{aligned}$
【答案】
(1) A种品牌的中性笔的单价为3元，B种品牌的中性笔的单价为3.2元；
(2) $y_{1}=2.4x$，当$x＞5$时，$y_{2}=2.24x + 4.8$
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组和一次函数在实际销售场景中的应用，核心是准确提取题意中的等量关系，对于分段计费的情况要注意分阶段计算费用，锻炼学生分析实际问题、构建数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问是典型的二元一次方程组应用问题，解题思路是先设A、B两种中性笔的单价分别为未知数，再根据题目中两次购买的总价条件，列出两个方程组成方程组，通过解方程组求出单价。
2. 第(2)问需结合促销规则推导函数关系式：
A品牌按原价八折销售，直接用原价乘折扣再乘购买数量即可得到$y_1$的表达式；
B品牌是分段计费，购买数量超过5支时，前5支按原价付款，超出的部分按原价七折付款，将两部分费用相加就能得到$x＞5$时$y_2$的表达式。
【解析】
(1) 设A品牌中性笔的单价为$a$元，B品牌中性笔的单价为$b$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20a + 30b = 156 \\30a + 10b = 122\end{cases}$
将第二个方程两边乘3得：$90a + 30b = 366$
用该方程减去第一个方程：
$\begin{aligned}90a + 30b - (20a + 30b) &= 366 - 156 \\70a &= 210 \\a &= 3\end{aligned}$
把$a=3$代入$30a + 10b = 122$：
$30×3 + 10b = 122 \\10b = 32 \\b = 3.2$
(2) A品牌按原价八折销售，原价为3元，因此：
$y_{1}=0.8×3x=2.4x$
当$x＞5$时，B品牌前5支按原价付款，超出部分按七折付款：
$\begin{aligned}y_{2}&=3.2×5 + 0.7×3.2(x-5) \\&=16 + 2.24(x-5) \\&=2.24x + 4.8\end{aligned}$
【答案】
(1) A种品牌的中性笔的单价为3元，B种品牌的中性笔的单价为3.2元；
(2) $y_{1}=2.4x$，当$x＞5$时，$y_{2}=2.24x + 4.8$
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组和一次函数在实际销售场景中的应用，核心是准确提取题意中的等量关系，对于分段计费的情况要注意分阶段计算费用，锻炼学生分析实际问题、构建数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
