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22. (10分)已知:在如下四个图形中,$AB// CD$。
(1)图①中$∠ P$与$∠ A$,$∠ C$的关系满足:$∠ P+∠ A+C=360°$,请说明理由。
(2)分别探讨其余的三个图形中,$∠ P$与$∠ A$,$∠ C$的关系,请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由。
(1)图①中$∠ P$与$∠ A$,$∠ C$的关系满足:$∠ P+∠ A+C=360°$,请说明理由。
(2)分别探讨其余的三个图形中,$∠ P$与$∠ A$,$∠ C$的关系,请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由。
答案
22.解:(1)过点$P$作$PF// AB$,
因为$AB// CD$,
所以$PF// AB// CD$。
所以$∠ APF+∠ A=180°$,$∠ CPF+$$∠ C=180°$。
两式相加得:$∠ A+∠ C+∠ APF+∠ CPF=360°$,
即$∠ APC+∠ A+∠ C=360°$。
(2)如图②,$∠ APC=∠ A+∠ C$;
如图③,$∠ APK+∠ A=∠ C$;
如图④,$∠ C+∠ APC=∠ A$。
解析
【分析】
(1) 要证明$∠P+∠A+∠C=360°$，已知$AB//CD$，可通过过点$P$作平行线，利用平行线的传递性得到该线与$CD$也平行，再结合“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将$∠APC$拆分为两个角，分别与$∠A$、$∠C$互补，相加后即可得出结论。
(2) 对于其余三个图形，同样采用作辅助线构造平行线的方法，结合平行线的性质（内错角相等、角的和差关系），推导$∠P$与$∠A$、$∠C$的数量关系。
【解析】
(1) 过点$P$作$PF// AB$，
因为$AB// CD$，
所以$PF// AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ APF+∠ A=180°$，$∠ CPF+∠ C=180°$。
将两式相加得：$∠ A+∠ C+∠ APF+∠ CPF=360°$，
又因为$∠ APC=∠ APF+∠ CPF$，所以$∠ APC+∠ A+∠ C=360°$。
(2) 选取图②进行说明：
过点$P$作$PE// AB$，
因为$AB// CD$，所以$PE// AB// CD$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ A=∠ APE$，$∠ C=∠ CPE$，
所以$∠ APC=∠ APE+∠ CPE=∠ A+∠ C$。
图③理由：过点$P$作$PE// AB$，由$AB// CD$得$PE// AB// CD$，则$∠ C=∠ CPE$，$∠ A=∠ APE$，结合$∠ CPE=∠ APC+∠ APE$，可得$∠ C=∠ APC+∠ A$。
图④理由：过点$P$作$PE// CD$，由$AB// CD$得$PE// AB// CD$，则$∠ C=∠ CPE$，$∠ A=∠ APE$，结合$∠ APE=∠ APC+∠ CPE$，可得$∠ A=∠ APC+∠ C$。
【答案】
(1) 理由见上述解析；
(2) 如图②,$∠ APC=∠ A+∠ C$;
如图③,$∠ C=∠ APC+∠ A$;
如图④,$∠ A=∠ APC+∠ C$。
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角的和差关系
【点评】
本题是平行线性质的典型应用，作辅助线构造平行线是解决此类“折线型”角度问题的核心方法，需要熟练掌握平行线的性质，并能结合角的和差关系灵活推导角度间的数量关系，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$∠P+∠A+∠C=360°$，已知$AB//CD$，可通过过点$P$作平行线，利用平行线的传递性得到该线与$CD$也平行，再结合“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将$∠APC$拆分为两个角，分别与$∠A$、$∠C$互补，相加后即可得出结论。
(2) 对于其余三个图形，同样采用作辅助线构造平行线的方法，结合平行线的性质（内错角相等、角的和差关系），推导$∠P$与$∠A$、$∠C$的数量关系。
【解析】
(1) 过点$P$作$PF// AB$，
因为$AB// CD$，
所以$PF// AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ APF+∠ A=180°$，$∠ CPF+∠ C=180°$。
将两式相加得：$∠ A+∠ C+∠ APF+∠ CPF=360°$，
又因为$∠ APC=∠ APF+∠ CPF$，所以$∠ APC+∠ A+∠ C=360°$。
(2) 选取图②进行说明：
过点$P$作$PE// AB$，
因为$AB// CD$，所以$PE// AB// CD$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ A=∠ APE$，$∠ C=∠ CPE$，
所以$∠ APC=∠ APE+∠ CPE=∠ A+∠ C$。
图③理由：过点$P$作$PE// AB$，由$AB// CD$得$PE// AB// CD$，则$∠ C=∠ CPE$，$∠ A=∠ APE$，结合$∠ CPE=∠ APC+∠ APE$，可得$∠ C=∠ APC+∠ A$。
图④理由：过点$P$作$PE// CD$，由$AB// CD$得$PE// AB// CD$，则$∠ C=∠ CPE$，$∠ A=∠ APE$，结合$∠ APE=∠ APC+∠ CPE$，可得$∠ A=∠ APC+∠ C$。
【答案】
(1) 理由见上述解析；
(2) 如图②,$∠ APC=∠ A+∠ C$;
如图③,$∠ C=∠ APC+∠ A$;
如图④,$∠ A=∠ APC+∠ C$。
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角的和差关系
【点评】
本题是平行线性质的典型应用，作辅助线构造平行线是解决此类“折线型”角度问题的核心方法，需要熟练掌握平行线的性质，并能结合角的和差关系灵活推导角度间的数量关系，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
23. (12分)如图①,P点从点A开始以2 cm/s的速度沿$A\to B\to C$的方向移动,点Q从点C开始以1 cm/s的速度沿$C\to A\to B$的方向移动,当P点到达C点时,P,Q两点都停止运动。在直角三角形ABC中,$∠ A=90°$,若$AB=16\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,$BC=20\ \mathrm{cm}$,如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动时间,那么:
(1)如图①,若点P在线段AB上运动,点Q在线段CA上运动,试求出t为何值时,$QA=AP$;
(2)如图②,点Q在CA上运动,试求出t为何值时,$△ QAB$的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$;
(3)如图③,试求当t为何值时,线段AQ的长度等于线段BP的长度的$\frac{1}{4}$。
(1)如图①,若点P在线段AB上运动,点Q在线段CA上运动,试求出t为何值时,$QA=AP$;
(2)如图②,点Q在CA上运动,试求出t为何值时,$△ QAB$的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$;
(3)如图③,试求当t为何值时,线段AQ的长度等于线段BP的长度的$\frac{1}{4}$。
答案
23.解:(1)$t=4$时,$QA=AP$;
(2)$t=9$时,$S_{△ QAB}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$;
(3)由题意可知,$Q$在线段$CA$上运动的时间为12 s,$P$在线段$AB$上运动的时间为8 s,
①当$0＜ t≤8$时,$P$在线段$AB$上运动,$Q$在线段$CA$上运动,$CQ=t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,
则$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$,$BP=(16-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$12-t=\dfrac{1}{4}(16-2t)$,
解得$t=16$(不合题意,舍去)。
②当$8＜ t≤12$时,$Q$在线段$CA$上运动,$P$在线段$BC$上运动,$CQ=t\ \mathrm{cm}$,
则$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$,$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$12-t=\dfrac{1}{4}(2t-16)$,
解得$t=\dfrac{32}{3}$。
③当$12＜ t≤18$时,$Q$在线段$AB$上运动,$P$在线段$BC$上运动,
则$AQ=(t-12)\ \mathrm{cm}$,$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$t-12=\dfrac{1}{4}(2t-16)$,
解得$t=16$。
综上所述,$t$为$\dfrac{32}{3}$或16时,$AQ=\dfrac{1}{4}BP$。
(2)$t=9$时,$S_{△ QAB}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$;
(3)由题意可知,$Q$在线段$CA$上运动的时间为12 s,$P$在线段$AB$上运动的时间为8 s,
①当$0＜ t≤8$时,$P$在线段$AB$上运动,$Q$在线段$CA$上运动,$CQ=t\ \mathrm{cm}$,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,
则$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$,$BP=(16-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$12-t=\dfrac{1}{4}(16-2t)$,
解得$t=16$(不合题意,舍去)。
②当$8＜ t≤12$时,$Q$在线段$CA$上运动,$P$在线段$BC$上运动,$CQ=t\ \mathrm{cm}$,
则$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$,$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$12-t=\dfrac{1}{4}(2t-16)$,
解得$t=\dfrac{32}{3}$。
③当$12＜ t≤18$时,$Q$在线段$AB$上运动,$P$在线段$BC$上运动,
则$AQ=(t-12)\ \mathrm{cm}$,$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$。
因为$AQ=\dfrac{1}{4}BP$,所以$t-12=\dfrac{1}{4}(2t-16)$,
解得$t=16$。
综上所述,$t$为$\dfrac{32}{3}$或16时,$AQ=\dfrac{1}{4}BP$。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：已知点P、Q的运动速度，当P在AB上、Q在CA上时，先分别用含t的式子表示出QA和AP的长度，再根据QA=AP的等量关系列一元一次方程求解即可。
2. 对于第(2)问：利用直角三角形面积公式，先表示出△QAB的面积和△ABC的面积，再根据“△QAB的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$”这一条件列方程，解方程得到t的值。
3. 对于第(3)问：首先确定P、Q的运动阶段分界点：P在AB上运动时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，Q在CA上运动时间为$12÷1=12\ \mathrm{s}$，P全程运动时间为$(16+20)÷2=18\ \mathrm{s}$，因此分三个阶段讨论：
①$0＜t≤8$时，P在AB上、Q在CA上；
②$8＜t≤12$时，P在BC上、Q在CA上；
③$12＜t≤18$时，P在BC上、Q在AB上；
每个阶段分别用含t的式子表示AQ和BP的长度，再根据$AQ=\frac{1}{4}BP$列方程，最后检验解是否在对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 当点P在线段AB上，点Q在线段CA上时，
由题意得：$CQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，
则$QA=AC-CQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，
因为$QA=AP$，所以列方程：
$12-t=2t$，
解得$t=4$。
(2) 先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×16×12=96\ \mathrm{cm^2}$，
当点Q在CA上时，$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，
$△ QAB$的面积为$S_{△QAB}=\frac{1}{2}×AB×AQ=\frac{1}{2}×16×(12-t)$，
根据题意$S_{△QAB}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，代入得：
$\frac{1}{2}×16×(12-t)=\frac{1}{4}×96$，
化简得：$8×(12-t)=24$，
解得$12-t=3$，即$t=9$。
(3) 先确定运动阶段的时间分界：
P在线段AB上运动时间：$16÷2=8\ \mathrm{s}$，
Q在线段CA上运动时间：$12÷1=12\ \mathrm{s}$，
P全程运动时间：$(16+20)÷2=18\ \mathrm{s}$。
分三种情况讨论：
①当$0＜ t≤8$时，P在线段AB上，Q在线段CA上，
$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，$BP=(16-2t)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$12-t=\frac{1}{4}(16-2t)$，
去分母得：$48-4t=16-2t$，
移项合并得：$-2t=-32$，
解得$t=16$，但$16＞8$，不符合该阶段范围，舍去。
②当$8＜ t≤12$时，Q在线段CA上，P在线段BC上，
$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$12-t=\frac{1}{4}(2t-16)$，
去分母得：$48-4t=2t-16$，
移项合并得：$-6t=-64$，
解得$t=\frac{32}{3}$，$\frac{32}{3}≈10.67$，在$8＜ t≤12$范围内，符合题意。
③当$12＜ t≤18$时，Q在线段AB上，P在线段BC上，
$AQ=(t-12)\ \mathrm{cm}$，$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$t-12=\frac{1}{4}(2t-16)$，
去分母得：$4t-48=2t-16$，
移项合并得：$2t=32$，
解得$t=16$，$16$在$12＜ t≤18$范围内，符合题意。
综上，$t$的值为$\frac{32}{3}$或16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=4}$时，$QA=AP$；
(2) $\boldsymbol{t=9}$时，$S_{△ QAB}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$；
(3) $\boldsymbol{t=\dfrac{32}{3}}$或$\boldsymbol{16}$时，线段$AQ$的长度等于线段$BP$的长度的$\frac{1}{4}$。
【知识点】
一元一次方程的应用，三角形面积计算，分段讨论思想
【点评】
本题是直角三角形中的动点问题，核心是根据动点的运动轨迹进行分段讨论，准确用含时间t的代数式表示线段长度，再结合等量关系建立方程求解。解题时需注意每个阶段的时间范围，检验解的合理性，避免漏解或错解，考查学生的方程建模能力与分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问：已知点P、Q的运动速度，当P在AB上、Q在CA上时，先分别用含t的式子表示出QA和AP的长度，再根据QA=AP的等量关系列一元一次方程求解即可。
2. 对于第(2)问：利用直角三角形面积公式，先表示出△QAB的面积和△ABC的面积，再根据“△QAB的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$”这一条件列方程，解方程得到t的值。
3. 对于第(3)问：首先确定P、Q的运动阶段分界点：P在AB上运动时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，Q在CA上运动时间为$12÷1=12\ \mathrm{s}$，P全程运动时间为$(16+20)÷2=18\ \mathrm{s}$，因此分三个阶段讨论：
①$0＜t≤8$时，P在AB上、Q在CA上；
②$8＜t≤12$时，P在BC上、Q在CA上；
③$12＜t≤18$时，P在BC上、Q在AB上；
每个阶段分别用含t的式子表示AQ和BP的长度，再根据$AQ=\frac{1}{4}BP$列方程，最后检验解是否在对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 当点P在线段AB上，点Q在线段CA上时，
由题意得：$CQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，
则$QA=AC-CQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，
因为$QA=AP$，所以列方程：
$12-t=2t$，
解得$t=4$。
(2) 先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×16×12=96\ \mathrm{cm^2}$，
当点Q在CA上时，$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，
$△ QAB$的面积为$S_{△QAB}=\frac{1}{2}×AB×AQ=\frac{1}{2}×16×(12-t)$，
根据题意$S_{△QAB}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，代入得：
$\frac{1}{2}×16×(12-t)=\frac{1}{4}×96$，
化简得：$8×(12-t)=24$，
解得$12-t=3$，即$t=9$。
(3) 先确定运动阶段的时间分界：
P在线段AB上运动时间：$16÷2=8\ \mathrm{s}$，
Q在线段CA上运动时间：$12÷1=12\ \mathrm{s}$，
P全程运动时间：$(16+20)÷2=18\ \mathrm{s}$。
分三种情况讨论：
①当$0＜ t≤8$时，P在线段AB上，Q在线段CA上，
$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，$BP=(16-2t)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$12-t=\frac{1}{4}(16-2t)$，
去分母得：$48-4t=16-2t$，
移项合并得：$-2t=-32$，
解得$t=16$，但$16＞8$，不符合该阶段范围，舍去。
②当$8＜ t≤12$时，Q在线段CA上，P在线段BC上，
$AQ=(12-t)\ \mathrm{cm}$，$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$12-t=\frac{1}{4}(2t-16)$，
去分母得：$48-4t=2t-16$，
移项合并得：$-6t=-64$，
解得$t=\frac{32}{3}$，$\frac{32}{3}≈10.67$，在$8＜ t≤12$范围内，符合题意。
③当$12＜ t≤18$时，Q在线段AB上，P在线段BC上，
$AQ=(t-12)\ \mathrm{cm}$，$BP=(2t-16)\ \mathrm{cm}$，
由$AQ=\frac{1}{4}BP$得：
$t-12=\frac{1}{4}(2t-16)$，
去分母得：$4t-48=2t-16$，
移项合并得：$2t=32$，
解得$t=16$，$16$在$12＜ t≤18$范围内，符合题意。
综上，$t$的值为$\frac{32}{3}$或16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=4}$时，$QA=AP$；
(2) $\boldsymbol{t=9}$时，$S_{△ QAB}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$；
(3) $\boldsymbol{t=\dfrac{32}{3}}$或$\boldsymbol{16}$时，线段$AQ$的长度等于线段$BP$的长度的$\frac{1}{4}$。
【知识点】
一元一次方程的应用，三角形面积计算，分段讨论思想
【点评】
本题是直角三角形中的动点问题，核心是根据动点的运动轨迹进行分段讨论，准确用含时间t的代数式表示线段长度，再结合等量关系建立方程求解。解题时需注意每个阶段的时间范围，检验解的合理性，避免漏解或错解，考查学生的方程建模能力与分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
