登录
3. 由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示，其中阴影部分的面积是(
A.16
B.25
C.144
D.169
B
)A.16
B.25
C.144
D.169
答案
3. B
解析
设三个正方形边长分别为$a$、$b$、$c$（$c$为阴影正方形边长），由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 13^2$，$a^2 - b^2 = 12^2$。两式相加：$2a^2 = 13^2 + 12^2 = 169 + 144 = 313$（错误，应为两式相减）。
正确步骤：设阴影正方形边长为$c$，另两个正方形边长为$m$、$n$。由勾股定理，直角三角形中$m^2 + n^2 = 13^2$，另一直角三角形中$m^2 - n^2 = 12^2$。两式相减得$2n^2 = 13^2 - 12^2 = (13-12)(13+12)=25$，则$n^2=12.5$（错误，应为阴影部分面积为$c^2$，重新分析）。
重新设：设阴影正方形面积为$S$，其边长为$c$，另两个正方形面积为$S_1$、$S_2$。由勾股定理，大直角三角形：$S_1 + S = 13^2$，小直角三角形：$S_2 + S = 12^2$，且$S_1 - S_2 = S$（阴影面积）。联立得$S = 13^2 - 12^2 = 25$。
25
正确步骤：设阴影正方形边长为$c$，另两个正方形边长为$m$、$n$。由勾股定理，直角三角形中$m^2 + n^2 = 13^2$，另一直角三角形中$m^2 - n^2 = 12^2$。两式相减得$2n^2 = 13^2 - 12^2 = (13-12)(13+12)=25$，则$n^2=12.5$（错误，应为阴影部分面积为$c^2$，重新分析）。
重新设：设阴影正方形面积为$S$，其边长为$c$，另两个正方形面积为$S_1$、$S_2$。由勾股定理，大直角三角形：$S_1 + S = 13^2$，小直角三角形：$S_2 + S = 12^2$，且$S_1 - S_2 = S$（阴影面积）。联立得$S = 13^2 - 12^2 = 25$。
25
4. 如图，测得楼梯的斜边长 AB 为 13 m，高 BC 为 5 m。计划在楼梯表面铺地毯，至少需要
17
m 地毯。答案
4. 17
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13m，BC=5m。
由勾股定理得，AC²+BC²=AB²，
AC²=AB²-BC²=13²-5²=169-25=144，
AC=12m。
地毯长度为AC+BC=12+5=17m。
17
由勾股定理得，AC²+BC²=AB²，
AC²=AB²-BC²=13²-5²=169-25=144，
AC=12m。
地毯长度为AC+BC=12+5=17m。
17
5. 如图，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 是小正方形的顶点，则 ∠ABC =
45°
。答案
5. 45°
解析
连接AC。
由图可知，AC²=1²+2²=5，BC²=1²+2²=5，AB²=3²+1²=10。
∵AC²+BC²=5+5=10=AB²，且AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∴∠ABC=45°。
由图可知，AC²=1²+2²=5，BC²=1²+2²=5，AB²=3²+1²=10。
∵AC²+BC²=5+5=10=AB²，且AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∴∠ABC=45°。
6. 如图，已知 ∠C = 90°，AC = 10，BC = 5，AX⊥AC，点 P 和点 Q 从 A 点出发，分别在线段 AC 和射线 AX 上运动，且 AB = PQ。当点 P 运动到 AP =
5 或 10
时，△ABC 与△APQ 全等。答案
6. 5 或 10
解析
证明：
∵∠C=90°，AC=10，BC=5，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°。
情况1：△ABC≌△QPA
则AC=AQ，BC=AP，
∵BC=5，
∴AP=5。
情况2：△ABC≌△PQA
则AC=AP，BC=AQ，
∵AC=10，
∴AP=10。
综上，AP=5或10。
5或10
∵∠C=90°，AC=10，BC=5，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$。
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°。
情况1：△ABC≌△QPA
则AC=AQ，BC=AP，
∵BC=5，
∴AP=5。
情况2：△ABC≌△PQA
则AC=AP，BC=AQ，
∵AC=10，
∴AP=10。
综上，AP=5或10。
5或10
7. 如图，四边形 ABDC 中，BD⊥CD，BD = 6，CD = 8，AB = 24，AC = 26，求该四边形的面积。
答案
7. 解：如图，连接 BC。
∵BD⊥CD，
∴∠BDC = 90°，
∴△DBC 为直角三角形。
∴BC² = BD² + CD² = 6² + 8² = 10²，
∴BC = 10。
在△ABC 中，
∵AB² + BC² = 576 + 100 = 676，
AC² = 26² = 676，
∴AB² + BC² = AC²，
∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC = 90°。
∴S四边形ABDC = S△ABC - S△BCD
= $\frac{1}{2}$×10×24 - $\frac{1}{2}$×6×8 = 96。
8. 如图，OP = 1，过 P 作 PP₁⊥OP 且 PP₁ = 1，得 OP₁ = $\sqrt{2}$；过 P₁ 作 P₁P₂⊥OP₁ 且 P₁P₂ = 1，得 OP₂ = $\sqrt{3}$；过 P₂ 作 P₂P₃⊥OP₂ 且 P₂P₃ = 1，得 OP₃ = 2……依此法继续作下去，S₁，S₂，S₃，…分别表示各个三角形的面积，那么 S₁² + S₂² + S₃² + … + S₉² 的值是 (
A.$\frac{55}{4}$
B.$\frac{55}{2}$
C.$\frac{45}{4}$
D.55
C
)A.$\frac{55}{4}$
B.$\frac{55}{2}$
C.$\frac{45}{4}$
D.55
答案
8. C
解析
解：由题意得，每个三角形均为直角三角形，直角边分别为 $OP_{n-1}$ 和 $P_{n-1}P_n=1$。
$S_n = \frac{1}{2} × OP_{n-1} × 1 = \frac{1}{2}OP_{n-1}$，则 $S_n^2 = (\frac{1}{2}OP_{n-1})^2 = \frac{1}{4}OP_{n-1}^2$。
已知 $OP_0 = OP = 1$，$OP_1 = \sqrt{2}$，$OP_2 = \sqrt{3}$，$OP_3 = 2 = \sqrt{4}$，...，故 $OP_{n-1} = \sqrt{n}$。
所以 $S_n^2 = \frac{1}{4}n$。
则 $S_1^2 + S_2^2 + ··· + S_9^2 = \frac{1}{4}(1 + 2 + ··· + 9)$。
因为 $1 + 2 + ··· + 9 = \frac{9 × 10}{2} = 45$，所以原式 $= \frac{1}{4} × 45 = \frac{45}{4}$。
答案：$\frac{45}{4}$
$S_n = \frac{1}{2} × OP_{n-1} × 1 = \frac{1}{2}OP_{n-1}$，则 $S_n^2 = (\frac{1}{2}OP_{n-1})^2 = \frac{1}{4}OP_{n-1}^2$。
已知 $OP_0 = OP = 1$，$OP_1 = \sqrt{2}$，$OP_2 = \sqrt{3}$，$OP_3 = 2 = \sqrt{4}$，...，故 $OP_{n-1} = \sqrt{n}$。
所以 $S_n^2 = \frac{1}{4}n$。
则 $S_1^2 + S_2^2 + ··· + S_9^2 = \frac{1}{4}(1 + 2 + ··· + 9)$。
因为 $1 + 2 + ··· + 9 = \frac{9 × 10}{2} = 45$，所以原式 $= \frac{1}{4} × 45 = \frac{45}{4}$。
答案：$\frac{45}{4}$
9. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫格点，顶点为格点的三角形叫格点三角形。
(1) 如图(1)，已知格点△ABC，则△ABC
(2) 在图(2)中画一个格点△DEF，使其为直角三角形，且面积为 4。
(1) 如图(1)，已知格点△ABC，则△ABC
不是
(填“是”或“不是”)直角三角形；(2) 在图(2)中画一个格点△DEF，使其为直角三角形，且面积为 4。
答案
9. (1)不是
(2)略
(2)略
