例 1 如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点，AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17。
(1) 判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由；
(2) 求△ABC 的面积。

(1)
$\because BD^{2}+AD^{2}=6^{2} + 8^{2}=10^{2}=AB^{2}$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，$∠ ADB = 90^{\circ}$。
$\therefore AD⊥ BC$。
(2)
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$，
已知$AC = 17$，$AD = 8$，则$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=17^{2}-8^{2}=289 - 64 = 225$。
$\therefore CD = 15$。
$\because BC=BD + CD=6 + 15=21$，$AD⊥ BC$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×21×8 = 84$。
故$△ ABC$的面积是$84$。

【变式训练 1】 在平面直角坐标系中，点 P(-4, 3)到原点的距离是 ()

A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$

变式训练 1 C

点$P(-4,3)$到原点$(0,0)$的距离公式为$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，代入得$\sqrt{(-4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
C

例 2 已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等。”
写出它的逆命题并判断真假。

【解】逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
判断：该逆命题为假命题。

【变式训练 2】 下列说法中正确的是 ()

A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每一个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题

变式训练 2 A

1. 下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是 ()

A.3，4，5
B.5，12，13
C.7，24，25
D.9，39，40

1. D

A. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，能作为直角三角形三边长；
B. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，能作为直角三角形三边长；
C. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，能作为直角三角形三边长；
D. $9^2 + 39^2 = 81 + 1521 = 1602$，$40^2 = 1600$，$1602 ≠ 1600$，不能作为直角三角形三边长。
D

2. 已知下列条件：① ∠A + ∠B = ∠C；② ∠C = 90°；③ AC : BC : AB = 3 : 4 : 5；④ ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5；⑤ a² = (b + c)(b - c)中。其中能确定△ABC 是直角三角形的有 ()

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

2. C

①在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A+∠B=∠C，所以∠C+∠C=180°，2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形；
②∠C=90°，直接确定是直角三角形；
③设AC=3k，BC=4k，AB=5k（k＞0），则AC²+BC²=(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²=AB²，满足勾股定理，是直角三角形；
④设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，3x+4x+5x=180°，12x=180°，x=15°，∠C=5×15°=75°≠90°，不是直角三角形；
⑤a²=(b+c)(b - c)=b² - c²，即a² + c² = b²，满足勾股定理，是直角三角形。
综上，①②③⑤能确定是直角三角形，共4个。
C