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一、选择题
1. 如图所示，一根高 16 m 的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端 A 触地处到旗杆底部 B 的距离为 8 m，则折断点 C 到旗杆底部 B 的距离为(
A.8 m
B.7 m
C.6 m
D.5 m
1. 如图所示，一根高 16 m 的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端 A 触地处到旗杆底部 B 的距离为 8 m，则折断点 C 到旗杆底部 B 的距离为(
C
).A.8 m
B.7 m
C.6 m
D.5 m
答案
1. C
解析
设折断点$ C $到旗杆底部$ B $的距离为$ x \, \mathrm{m} $，则旗杆顶端$ A $到折断点$ C $的距离为$ (16 - x) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ AB = 8 \, \mathrm{m} $，$ BC = x \, \mathrm{m} $，$ AC = (16 - x) \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$
展开得：
$x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2$
化简得：
$32x = 192$
解得：
$x = 6$
C
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ AB = 8 \, \mathrm{m} $，$ BC = x \, \mathrm{m} $，$ AC = (16 - x) \, \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$
展开得：
$x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2$
化简得：
$32x = 192$
解得：
$x = 6$
C
2. 如图所示，以直角三角形三边为直径分别向形外作半圆，$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$分别是这三个半圆的面积，若$S_{1}=10$，$S_{2}=8$，则$S_{3}=( )$.
A.2
B.6
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
A.2
B.6
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
答案
2. A
解析
解：设直角三角形三边分别为 $a$、$b$、$c$（$c$ 为斜边），则三个半圆的直径分别为 $a$、$b$、$c$。
半圆面积公式为 $S = \frac{1}{2}π(\frac{d}{2})^2 = \frac{π d^2}{8}$，其中 $d$ 为直径。
由勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$。
$S_1 = \frac{π c^2}{8} = 10$，$S_2 = \frac{π b^2}{8} = 8$，$S_3 = \frac{π a^2}{8}$。
因为 $a^2 = c^2 - b^2$，所以 $S_3 = \frac{π (c^2 - b^2)}{8} = \frac{π c^2}{8} - \frac{π b^2}{8} = S_1 - S_2 = 10 - 8 = 2$。
答案：A
半圆面积公式为 $S = \frac{1}{2}π(\frac{d}{2})^2 = \frac{π d^2}{8}$，其中 $d$ 为直径。
由勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$。
$S_1 = \frac{π c^2}{8} = 10$，$S_2 = \frac{π b^2}{8} = 8$，$S_3 = \frac{π a^2}{8}$。
因为 $a^2 = c^2 - b^2$，所以 $S_3 = \frac{π (c^2 - b^2)}{8} = \frac{π c^2}{8} - \frac{π b^2}{8} = S_1 - S_2 = 10 - 8 = 2$。
答案：A
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对边长分别为$a$，$b$，$c$，若$c^{2}=2b^{2}$，则$a$，$b$的关系是(
A.$a ＞ b$
B.$a = b$
C.$a ＜ b$
D.$a + b = c$
B
).A.$a ＞ b$
B.$a = b$
C.$a ＜ b$
D.$a + b = c$
答案
3. B
解析
在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$c^{2}=2b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}=2b^{2}$，
移项可得$a^{2}=2b^{2}-b^{2}=b^{2}$，
所以$a = b$（$a$，$b$为边长，均为正数）。
B
已知$c^{2}=2b^{2}$，则$a^{2}+b^{2}=2b^{2}$，
移项可得$a^{2}=2b^{2}-b^{2}=b^{2}$，
所以$a = b$（$a$，$b$为边长，均为正数）。
B
二、填空题
4. 如图所示，一名滑雪运动员沿着倾斜角为$30^{\circ}$的斜边，从 A 处滑行至 B 处.已知这名滑雪运动员的高度下降了 80 m，则该滑雪运动员滑行了
4. 如图所示，一名滑雪运动员沿着倾斜角为$30^{\circ}$的斜边，从 A 处滑行至 B 处.已知这名滑雪运动员的高度下降了 80 m，则该滑雪运动员滑行了
160
m.答案
4. 160
解析
解：在直角三角形中，已知倾斜角为$30^{\circ}$，高度下降$80m$即对边为$80m$。根据正弦函数定义$\sin30^{\circ}=\frac{对边}{斜边}$，可得斜边$AB=\frac{80}{\sin30^{\circ}}=\frac{80}{\frac{1}{2}} = 160m$。
160
160
5. 如图所示，沿倾斜角为$30^{\circ}$的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离 AC 为 3 m，则相邻两棵树的斜坡距离 AB 为
3.5
(精确到 0.1 m).答案
5. 3.5
解析
解：在直角三角形中，$\cos 30° = \frac{AC}{AB}$，已知$AC = 3\ \mathrm{m}$，$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$AB = \frac{AC}{\cos 30°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \approx 3.5\ \mathrm{m}$。
3.5
3.5
6. 如图所示，点 P 在$∠ AOB$的角平分线上，过点 P 作$PC// OA$交 OB 于点 C.若$∠ AOB = 60^{\circ}$，$OC = 4$，则点 P 到 OA 的距离 PD 等于
$ 2\sqrt{3} $
.答案
6. $ 2\sqrt{3} $
解析
解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵∠AOB=60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PC//OA，
∴∠CPO=∠AOP=30°，
∴∠CPO=∠BOP，
∴PC=OC=4，
∵∠PCE=∠AOB=60°，∠PEC=90°，
∴sin∠PCE=PE/PC，
∴PE=PC·sin60°=4×(√3/2)=2√3，
∴PD=PE=2√3.
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵∠AOB=60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PC//OA，
∴∠CPO=∠AOP=30°，
∴∠CPO=∠BOP，
∴PC=OC=4，
∵∠PCE=∠AOB=60°，∠PEC=90°，
∴sin∠PCE=PE/PC，
∴PE=PC·sin60°=4×(√3/2)=2√3，
∴PD=PE=2√3.
