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三、解答题
7. 如图所示，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有 A 处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为 400 m 和 300 m，且$AC⊥ AB$.为了安全起见，爆破点 A 周围半径 250 m 的区域内不能有车辆和行人，那么在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂时封闭？为什么？
7. 如图所示，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有 A 处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为 400 m 和 300 m，且$AC⊥ AB$.为了安全起见，爆破点 A 周围半径 250 m 的区域内不能有车辆和行人，那么在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂时封闭？为什么？
答案
解：因为$AC⊥ AB$，所以$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，已知$AB = 400m$，$AC = 300m$，则$BC=\sqrt{400^{2}+300^{2}}=\sqrt{160000 + 90000}=\sqrt{250000}=500m$。
设点$A$到$BC$的距离为$h$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，即$\frac{1}{2}×400×300=\frac{1}{2}×500× h$，
$h=\frac{400×300}{500}=240m$。
因为$240＜250$，所以公路$BC$段需要暂时封闭。
根据勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，已知$AB = 400m$，$AC = 300m$，则$BC=\sqrt{400^{2}+300^{2}}=\sqrt{160000 + 90000}=\sqrt{250000}=500m$。
设点$A$到$BC$的距离为$h$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，即$\frac{1}{2}×400×300=\frac{1}{2}×500× h$，
$h=\frac{400×300}{500}=240m$。
因为$240＜250$，所以公路$BC$段需要暂时封闭。
解析
【分析】
要判断公路BC段是否需要暂时封闭，核心是求爆破点A到公路BC的最短距离，再将该距离与爆破安全半径250m比较：若最短距离小于250m，则BC段有区域在危险范围内，需要封闭；反之则不需要。
首先，由$AC⊥AB$可知$△ ABC$是直角三角形，先利用勾股定理求出BC的长度；再利用三角形面积的两种不同计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法求出A到BC的距离$h$；最后比较$h$和250m的大小关系，即可得出结论。
【解析】
解：因为$AC⊥AB$，所以$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理：$BC^2=AB^2+AC^2$，已知$AB=400m$，$AC=300m$，
则$BC=\sqrt{400^2+300^2}=\sqrt{160000+90000}=\sqrt{250000}=500m$。
设点A到BC的距离为$h$，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$\frac{1}{2}BC·h$，因此：
$\frac{1}{2}×400×300=\frac{1}{2}×500×h$
解得$h=\frac{400×300}{500}=240m$。
因为$240＜250$，即爆破点A到公路BC的距离小于安全半径，所以公路BC段需要暂时封闭。
【答案】
公路BC段需要暂时封闭，原因见解析。
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，直角三角形判定
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，考查了勾股定理与三角形面积公式的综合运用，关键是将实际问题转化为“求点到直线的距离”的几何问题，体现了数学建模思想，有助于提升学生运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要判断公路BC段是否需要暂时封闭，核心是求爆破点A到公路BC的最短距离，再将该距离与爆破安全半径250m比较：若最短距离小于250m，则BC段有区域在危险范围内，需要封闭；反之则不需要。
首先，由$AC⊥AB$可知$△ ABC$是直角三角形，先利用勾股定理求出BC的长度；再利用三角形面积的两种不同计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法求出A到BC的距离$h$；最后比较$h$和250m的大小关系，即可得出结论。
【解析】
解：因为$AC⊥AB$，所以$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理：$BC^2=AB^2+AC^2$，已知$AB=400m$，$AC=300m$，
则$BC=\sqrt{400^2+300^2}=\sqrt{160000+90000}=\sqrt{250000}=500m$。
设点A到BC的距离为$h$，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$\frac{1}{2}BC·h$，因此：
$\frac{1}{2}×400×300=\frac{1}{2}×500×h$
解得$h=\frac{400×300}{500}=240m$。
因为$240＜250$，即爆破点A到公路BC的距离小于安全半径，所以公路BC段需要暂时封闭。
【答案】
公路BC段需要暂时封闭，原因见解析。
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，直角三角形判定
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，考查了勾股定理与三角形面积公式的综合运用，关键是将实际问题转化为“求点到直线的距离”的几何问题，体现了数学建模思想，有助于提升学生运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图所示，已知钝角三角形的三边长为 2，3，4，求该三角形的面积.
答案
8. $ \dfrac{3\sqrt{15}}{4} $ 提示：作边 $ BC $ 上的高 $ AD $，构造共直角边 $ AD $ 的两直角三角形，运用勾股定理列出方程并求解
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$D$，设$CD = x$，$AD = h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$3^2 = h^2 + (4 + x)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，即$2^2 = h^2 + x^2$。
两式相减得：$9 - 4 = (4 + x)^2 - x^2$，
$5 = 16 + 8x$，解得$x = -\dfrac{11}{8}$（舍去）。
过点$B$作$BE ⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$，设$CE = y$，$BE = h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 = BE^2 + AE^2$，即$3^2 = h^2 + (2 + y)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2 = BE^2 + CE^2$，即$4^2 = h^2 + y^2$。
两式相减得：$16 - 9 = y^2 - (2 + y)^2$，
$7 = -4y - 4$，解得$y = -\dfrac{11}{4}$（舍去）。
过点$C$作$CF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$，设$BF = z$，$CF = h$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$AC^2 = CF^2 + AF^2$，即$2^2 = h^2 + (3 + z)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BC^2 = CF^2 + BF^2$，即$4^2 = h^2 + z^2$。
两式相减得：$16 - 4 = z^2 - (3 + z)^2$，
$12 = -6z - 9$，解得$z = -\dfrac{7}{2}$（舍去）。
重新作边$BC$上的高$AD$，设$BD = m$，则$DC = 4 - m$（$D$在$BC$延长线上，$m$为负数），设$BD = -m$（$m ＞ 0$），则$DC = 4 + m$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$3^2 = h^2 + m^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，即$2^2 = h^2 + (4 + m)^2$。
两式相减得：$9 - 4 = m^2 - (4 + m)^2$，
$5 = -8m - 16$，解得$m = -\dfrac{21}{8}$（不符合，应为$D$在$BC$上，钝角对边为最长边$BC=4$，则$A$为钝角）。
设$AD = h$，$BD = x$，则$DC = 4 - x$，$A$为钝角，$x ＜ 0$，$DC = 4 - x ＞ 4$。
$AB^2 = h^2 + x^2 = 9$，$AC^2 = h^2 + (4 - x)^2 = 4$，
两式相减：$9 - 4 = x^2 - (4 - x)^2$，
$5 = 8x - 16$，$8x = 21$，$x = \dfrac{21}{8}$（此时$D$在$BC$延长线上，$BD = \dfrac{21}{8}$，$DC = \dfrac{21}{8} - 4 = \dfrac{21}{8} - \dfrac{32}{8} = -\dfrac{11}{8}$，取绝对值$DC = \dfrac{11}{8}$）。
$h^2 = 9 - x^2 = 9 - (\dfrac{21}{8})^2 = 9 - \dfrac{441}{64} = \dfrac{576 - 441}{64} = \dfrac{135}{64}$，$h = \dfrac{3\sqrt{15}}{8}$。
面积$S = \dfrac{1}{2} × BC × h = \dfrac{1}{2} × 4 × \dfrac{3\sqrt{15}}{8} = \dfrac{3\sqrt{15}}{4}$。
$\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$3^2 = h^2 + (4 + x)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，即$2^2 = h^2 + x^2$。
两式相减得：$9 - 4 = (4 + x)^2 - x^2$，
$5 = 16 + 8x$，解得$x = -\dfrac{11}{8}$（舍去）。
过点$B$作$BE ⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$，设$CE = y$，$BE = h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 = BE^2 + AE^2$，即$3^2 = h^2 + (2 + y)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2 = BE^2 + CE^2$，即$4^2 = h^2 + y^2$。
两式相减得：$16 - 9 = y^2 - (2 + y)^2$，
$7 = -4y - 4$，解得$y = -\dfrac{11}{4}$（舍去）。
过点$C$作$CF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$，设$BF = z$，$CF = h$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$AC^2 = CF^2 + AF^2$，即$2^2 = h^2 + (3 + z)^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BC^2 = CF^2 + BF^2$，即$4^2 = h^2 + z^2$。
两式相减得：$16 - 4 = z^2 - (3 + z)^2$，
$12 = -6z - 9$，解得$z = -\dfrac{7}{2}$（舍去）。
重新作边$BC$上的高$AD$，设$BD = m$，则$DC = 4 - m$（$D$在$BC$延长线上，$m$为负数），设$BD = -m$（$m ＞ 0$），则$DC = 4 + m$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$3^2 = h^2 + m^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，即$2^2 = h^2 + (4 + m)^2$。
两式相减得：$9 - 4 = m^2 - (4 + m)^2$，
$5 = -8m - 16$，解得$m = -\dfrac{21}{8}$（不符合，应为$D$在$BC$上，钝角对边为最长边$BC=4$，则$A$为钝角）。
设$AD = h$，$BD = x$，则$DC = 4 - x$，$A$为钝角，$x ＜ 0$，$DC = 4 - x ＞ 4$。
$AB^2 = h^2 + x^2 = 9$，$AC^2 = h^2 + (4 - x)^2 = 4$，
两式相减：$9 - 4 = x^2 - (4 - x)^2$，
$5 = 8x - 16$，$8x = 21$，$x = \dfrac{21}{8}$（此时$D$在$BC$延长线上，$BD = \dfrac{21}{8}$，$DC = \dfrac{21}{8} - 4 = \dfrac{21}{8} - \dfrac{32}{8} = -\dfrac{11}{8}$，取绝对值$DC = \dfrac{11}{8}$）。
$h^2 = 9 - x^2 = 9 - (\dfrac{21}{8})^2 = 9 - \dfrac{441}{64} = \dfrac{576 - 441}{64} = \dfrac{135}{64}$，$h = \dfrac{3\sqrt{15}}{8}$。
面积$S = \dfrac{1}{2} × BC × h = \dfrac{1}{2} × 4 × \dfrac{3\sqrt{15}}{8} = \dfrac{3\sqrt{15}}{4}$。
$\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
9. 如图所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑梯的倾角由$45^{\circ}$降为$30^{\circ}$，已知原滑梯 AB 的长为 5 m，点 D，B，C 在同一水平地面上.
(1) 改善后滑梯会加长多少(精确到 0.01 m)？
(2) 若滑梯的正前方需有 3 m 长的空地才能保证安全，已知原滑梯的前方有 6 m 长的空地，像这样改造是否可行？说明理由.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$)
(1) 改善后滑梯会加长多少(精确到 0.01 m)？
(2) 若滑梯的正前方需有 3 m 长的空地才能保证安全，已知原滑梯的前方有 6 m 长的空地，像这样改造是否可行？说明理由.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$)
答案
9. (1) $ 2.07 \, \mathrm{m} $ (2) 可行，理由略
解析
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=45°$，$AB=5\,\mathrm{m}$，
$\sin45°=\frac{AC}{AB}⇒ AC=AB·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=30°$，$AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{m}$，
$\sin30°=\frac{AC}{AD}⇒ AD=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{5\sqrt{2}}{2}÷\frac{1}{2}=5\sqrt{2}\approx5×1.414=7.07\,\mathrm{m}$。
加长长度：$AD-AB=7.07-5=2.07\,\mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$\cos45°=\frac{BC}{AB}⇒ BC=AB·\cos45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx3.535\,\mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan30°=\frac{AC}{DC}⇒ DC=\frac{AC}{\tan30°}=\frac{5\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/3}=\frac{5\sqrt{6}}{2}\approx6.123\,\mathrm{m}$。
改造后空地长度：$6-(DC-BC)\approx6-(6.123-3.535)=3.412\,\mathrm{m}＞3\,\mathrm{m}$，可行。
(1) $2.07\,\mathrm{m}$
(2) 可行
$\sin45°=\frac{AC}{AB}⇒ AC=AB·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=30°$，$AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{m}$，
$\sin30°=\frac{AC}{AD}⇒ AD=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{5\sqrt{2}}{2}÷\frac{1}{2}=5\sqrt{2}\approx5×1.414=7.07\,\mathrm{m}$。
加长长度：$AD-AB=7.07-5=2.07\,\mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$\cos45°=\frac{BC}{AB}⇒ BC=AB·\cos45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx3.535\,\mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan30°=\frac{AC}{DC}⇒ DC=\frac{AC}{\tan30°}=\frac{5\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/3}=\frac{5\sqrt{6}}{2}\approx6.123\,\mathrm{m}$。
改造后空地长度：$6-(DC-BC)\approx6-(6.123-3.535)=3.412\,\mathrm{m}＞3\,\mathrm{m}$，可行。
(1) $2.07\,\mathrm{m}$
(2) 可行
