10. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$，$D$是$\odot O$上的点，$∠ CDB=30^{\circ}$，过点$C$作$\odot O$的切线交$AB$的延长线于点$E$，则$\sin E$的值为()

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{3}$

10. C

证明：连接 $OC$。
∵ $CE$ 是 $\odot O$ 的切线，
∴ $OC ⊥ CE$，即 $∠ OCE = 90°$。
∵ $∠ CDB = 30°$，
∴ $∠ COB = 2∠ CDB = 60°$。
在 $Rt△ OCE$ 中，$∠ E = 90° - ∠ COB = 30°$，
∴ $\sin E = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$。
答案：C

11. 在$△ ABC$中，若锐角$A$，$B$满足$\left|\sin A-\dfrac{1}{2}\right|+(\cos B-\dfrac{1}{2})^{2}=0$，则$∠ C$的度数是。

11. $ 90^{\circ} $

解：因为$\left|\sin A - \dfrac{1}{2}\right| + (\cos B - \dfrac{1}{2})^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \dfrac{1}{2} = 0$，$\cos B - \dfrac{1}{2} = 0$。
解得$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{1}{2}$。
因为$A$，$B$为锐角，所以$∠ A = 30°$，$∠ B = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 60° = 90°$。
$90^{\circ}$

12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略。在计算$\tan 15^{\circ}$时，如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ ABC=30^{\circ}$，延长$CB$使$BD=AB$，连接$AD$，得$∠ D=15^{\circ}$，所以$\tan 15^{\circ}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。类比这种方法，计算$\tan 22.5^{\circ}$的值为。
]

12. $ \sqrt{2}-1 $

解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ ABC=45^{\circ}$，设$AC=BC=1$，则$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。延长$CB$使$BD=AB=\sqrt{2}$，连接$AD$，则$∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5^{\circ}$。$CD=CB+BD=1+\sqrt{2}$，所以$\tan22.5^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$

13. 如图 1，在平面直角坐标系中，射线$OA$与$x$轴的正半轴重合，射线$OA$绕着原点$O$逆时针转到$OB$位置，把转过的角度记为$α$，把射线$OA$称为$α$的始边，射线$OB$称为$α$的终边。设$α$是一个任意角，$α$的终边上任意一点$P$(除端点外)的坐标是$P(x,y)$，它到原点的距离是$r=PO=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，那么定义：$α$的正弦$\sin α=\dfrac{y}{r}$，$α$的余弦$\cos α=\dfrac{x}{r}$，$α$的正切$\tan α=\dfrac{y}{x}$。
根据以上的定义，当$α=120^{\circ}$时，如图 2，在$120^{\circ}$角的终边$OB$上取一点$P(-1,\sqrt{3})$，则$x=-1$，$y=\sqrt{3}$，$r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$；$\sin 120^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 120^{\circ}=\dfrac{x}{r}=-\dfrac{1}{2}$，$\tan 120^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$。

根据以上所学知识填空：
(1) $\sin 150^{\circ}=$，$\cos 150^{\circ}=$，$\tan 150^{\circ}=$；
(2) 猜想$\sin (180^{\circ}-α)$与$\sin α$的关系式为；猜想$\cos (180^{\circ}-α)$与$\cos α$的关系式为；猜想$\tan (180^{\circ}-α)$与$\tan α$的关系式为。
(3) $\sin 135^{\circ}=$，$\cos 135^{\circ}=$，$\tan 135^{\circ}=$。

13. (1) $ \dfrac{1}{2} $ $ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ $ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ (2) $ \sin(180^{\circ}-α)=\sinα $ $ \cos(180^{\circ}-α)=-\cosα $ $ \tan(180^{\circ}-α)=-\tanα $ (3) $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ $ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $