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1. 用配方法将二次函数 $ y = x^{2} - 8x - 9 $ 化为 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为(
A.$ y = (x - 4)^{2} + 7 $
B.$ y = (x - 4)^{2} - 25 $
C.$ y = (x + 4)^{2} + 7 $
D.$ y = (x + 4)^{2} - 25 $
B
)A.$ y = (x - 4)^{2} + 7 $
B.$ y = (x - 4)^{2} - 25 $
C.$ y = (x + 4)^{2} + 7 $
D.$ y = (x + 4)^{2} - 25 $
答案
1. B
解析
$y=x^{2}-8x-9$
$=x^{2}-8x+16-16-9$
$=(x-4)^{2}-25$
答案：B
$=x^{2}-8x+16-16-9$
$=(x-4)^{2}-25$
答案：B
2. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - 4x + 5 $，当函数值 $ y $ 随 $ x $ 值的增大而增大时，$ x $ 的取值范围是(
A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＜ 2 $
D.$ x ＞ 2 $
B
)A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＜ 2 $
D.$ x ＞ 2 $
答案
2. B
解析
对于二次函数$y = 2x^{2}-4x + 5$，其中$a = 2$，$b=-4$。对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×2}=1$。因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，所以当$x＞1$时，函数值$y$随$x$值的增大而增大。
B
B
3. 下列对二次函数 $ y = x^{2} - x $ 的图像的描述，正确的是(
A.开口向下
B.对称轴是 $ y $ 轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
C
)A.开口向下
B.对称轴是 $ y $ 轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
答案
3. C
解析
对于二次函数$y = x^{2}-x$：
二次项系数$a = 1＞0$，开口向上，A错误；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，不是$y$轴，B错误；
当$x = 0$时，$y=0^{2}-0=0$，经过原点，C正确；
开口向上，对称轴右侧部分是上升的，D错误。
C
二次项系数$a = 1＞0$，开口向上，A错误；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，不是$y$轴，B错误；
当$x = 0$时，$y=0^{2}-0=0$，经过原点，C正确；
开口向上，对称轴右侧部分是上升的，D错误。
C
4. 若二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表：
则当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 的值为(
A.$ 5 $
B.$ -3 $
C.$ -13 $
D.$ -27 $
则当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 的值为(
D
)A.$ 5 $
B.$ -3 $
C.$ -13 $
D.$ -27 $
答案
4. D
解析
解：设二次函数为$y = ax^2 + bx + c$。
选取$x=-4$，$y=3$；$x=-3$，$y=5$；$x=-2$，$y=3$代入得：
$\begin{cases}16a - 4b + c = 3 \\9a - 3b + c = 5 \\4a - 2b + c = 3\end{cases}$
由$16a - 4b + c = 3$和$4a - 2b + c = 3$相减得：$12a - 2b = 0$，即$6a - b = 0$，$b = 6a$。
将$b = 6a$代入$9a - 3b + c = 5$得：$9a - 18a + c = 5$，$-9a + c = 5$，$c = 9a + 5$。
将$b = 6a$，$c = 9a + 5$代入$4a - 2b + c = 3$：$4a - 12a + 9a + 5 = 3$，$a + 5 = 3$，$a = -2$。
则$b = 6×(-2) = -12$，$c = 9×(-2) + 5 = -13$，函数为$y = -2x^2 - 12x - 13$。
当$x = 1$时，$y = -2×1^2 - 12×1 - 13 = -2 - 12 - 13 = -27$。
D
选取$x=-4$，$y=3$；$x=-3$，$y=5$；$x=-2$，$y=3$代入得：
$\begin{cases}16a - 4b + c = 3 \\9a - 3b + c = 5 \\4a - 2b + c = 3\end{cases}$
由$16a - 4b + c = 3$和$4a - 2b + c = 3$相减得：$12a - 2b = 0$，即$6a - b = 0$，$b = 6a$。
将$b = 6a$代入$9a - 3b + c = 5$得：$9a - 18a + c = 5$，$-9a + c = 5$，$c = 9a + 5$。
将$b = 6a$，$c = 9a + 5$代入$4a - 2b + c = 3$：$4a - 12a + 9a + 5 = 3$，$a + 5 = 3$，$a = -2$。
则$b = 6×(-2) = -12$，$c = 9×(-2) + 5 = -13$，函数为$y = -2x^2 - 12x - 13$。
当$x = 1$时，$y = -2×1^2 - 12×1 - 13 = -2 - 12 - 13 = -27$。
D
5. (2024·包头)将抛物线 $ y = x^{2} + 2x $ 向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的表达式为(
A.$ y = (x + 1)^{2} - 3 $
B.$ y = (x + 1)^{2} - 2 $
C.$ y = (x - 1)^{2} - 3 $
D.$ y = (x - 1)^{2} - 2 $
A
)A.$ y = (x + 1)^{2} - 3 $
B.$ y = (x + 1)^{2} - 2 $
C.$ y = (x - 1)^{2} - 3 $
D.$ y = (x - 1)^{2} - 2 $
答案
5. A
解析
先将原抛物线$y = x^{2} + 2x$化为顶点式：$y=(x+1)^{2}-1$。向下平移2个单位，根据平移规律“上加下减”，在常数项上减2，得到新抛物线表达式为$y=(x+1)^{2}-1 - 2=(x+1)^{2}-3$。
A
A
6. (2023·牡丹江)将抛物线 $ y = (x + 3)^{2} $ 向下平移 1 个单位长度，再向右平移
2或4
个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.答案
6. 2或4
解析
设向右平移$h$个单位长度。
抛物线$y=(x + 3)^2$向下平移1个单位长度后解析式为$y=(x + 3)^2-1$，再向右平移$h$个单位长度后解析式为$y=(x + 3 - h)^2-1$。
因为新抛物线经过原点$(0,0)$，所以$0=(0 + 3 - h)^2-1$，即$(3 - h)^2=1$。
则$3 - h=\pm1$。
当$3 - h=1$时，$h=2$；当$3 - h=-1$时，$h=4$。
2或4
抛物线$y=(x + 3)^2$向下平移1个单位长度后解析式为$y=(x + 3)^2-1$，再向右平移$h$个单位长度后解析式为$y=(x + 3 - h)^2-1$。
因为新抛物线经过原点$(0,0)$，所以$0=(0 + 3 - h)^2-1$，即$(3 - h)^2=1$。
则$3 - h=\pm1$。
当$3 - h=1$时，$h=2$；当$3 - h=-1$时，$h=4$。
2或4
7. (2023·泰安)二次函数 $ y = -x^{2} - 3x + 4 $ 的最大值是
$\frac{25}{4}$
.答案
7. $\frac{25}{4}$
解析
解：$y=-x^{2}-3x+4=-(x^{2}+3x)+4=-(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}+4=-(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{4}$，因为二次项系数$-1＜0$，所以函数有最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
8. (2024·牡丹江)将抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 向下平移 5 个单位长度后，经过点 $ (-2,4) $，则 $ 6a - 3b - 7 = $
2
.答案
8. 2
解析
将抛物线$y = ax^{2} + bx + 3$向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线解析式为$y = ax^{2} + bx + 3 - 5 = ax^{2} + bx - 2$。
因为新抛物线经过点$(-2, 4)$，所以将$x = -2$，$y = 4$代入$y = ax^{2} + bx - 2$中，可得：
$4 = a×(-2)^{2} + b×(-2) - 2$
$4 = 4a - 2b - 2$
$4a - 2b = 6$
两边同时除以2得：$2a - b = 3$
则$6a - 3b - 7 = 3(2a - b) - 7 = 3×3 - 7 = 9 - 7 = 2$
2
因为新抛物线经过点$(-2, 4)$，所以将$x = -2$，$y = 4$代入$y = ax^{2} + bx - 2$中，可得：
$4 = a×(-2)^{2} + b×(-2) - 2$
$4 = 4a - 2b - 2$
$4a - 2b = 6$
两边同时除以2得：$2a - b = 3$
则$6a - 3b - 7 = 3(2a - b) - 7 = 3×3 - 7 = 9 - 7 = 2$
2
9. 二次函数 $ y = 2x^{2} + bx + 3 $ 的图像的对称轴是直线 $ x = 1 $，则常数 $ b $ 的值为
-4
.答案
9. -4
解析
解：对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$。
在二次函数$y = 2x^{2}+bx + 3$中，$a = 2$，已知对称轴是直线$x = 1$，则有：
$-\dfrac{b}{2×2}=1$
$-\dfrac{b}{4}=1$
$b=-4$
-4
在二次函数$y = 2x^{2}+bx + 3$中，$a = 2$，已知对称轴是直线$x = 1$，则有：
$-\dfrac{b}{2×2}=1$
$-\dfrac{b}{4}=1$
$b=-4$
-4
10. 分别根据配方法和顶点坐标公式确定下列二次函数的顶点坐标.
(1) $ y = 2x^{2} - 4x - 1 $（配方法）；
(2) $ y = -3x^{2} + 6x - 2 $（公式法）.
(1) $ y = 2x^{2} - 4x - 1 $（配方法）；
(2) $ y = -3x^{2} + 6x - 2 $（公式法）.
答案
10. (1) $y = 2x^{2}-4x - 1 = 2(x^{2}-2x + 1)-2 - 1 = 2(x - 1)^{2}-3$，顶点坐标为$(1,-3)$。 (2) $a = - 3$，$b = 6$，$c = - 2$，$-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-3)} = 1$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-3)×(-2)-6^{2}}{4×(-3)} = 1$，顶点坐标为$(1,1)$。
11. 已知二次函数 $ y = 3x^{2} + 6x + 1 $.
(1) 写出其图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求出它的最小值；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(1) 写出其图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求出它的最小值；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
答案
11. (1) $y = 3x^{2}+6x + 1 = 3(x + 1)^{2}-2$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x = - 1$，顶点坐标为$(-1,-2)$，函数的最小值为-2。 (2) 当$x ＜ - 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x≥ - 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
12. (2024·上海)对于一个二次函数 $ y = a(x - m)^{2} + k(a ≠ 0) $ 中存在一点 $ P(x', y') $，使得 $ x' - m = y' - k ≠ 0 $，则称 $ 2|x' - m| $ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x + 3 $“开口大小”为
4
.答案
12. 4
解析
解：将抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x + 3$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}(x^{2}-\frac{2}{3}x)+3\\&=-\frac{1}{2}(x^{2}-\frac{2}{3}x + \frac{1}{9}-\frac{1}{9})+3\\&=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{18}+3\\&=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{3})^{2}+\frac{55}{18}\end{aligned}$
所以$m = \frac{1}{3}$，$k = \frac{55}{18}$。
设点$P(x', y')$满足$x' - m = y' - k = t(t ≠ 0)$，则$x' = m + t$，$y' = k + t$。
因为点$P$在抛物线上，所以：
$k + t = a(m + t - m)^{2} + k$
即$t = a t^{2}$，$a = -\frac{1}{2}$，则：
$t = -\frac{1}{2}t^{2}$
$t^{2} + 2t = 0$，$t(t + 2) = 0$，解得$t = 0$（舍去）或$t = -2$。
“开口大小”为$2|t| = 2|-2| = 4$。
4
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}(x^{2}-\frac{2}{3}x)+3\\&=-\frac{1}{2}(x^{2}-\frac{2}{3}x + \frac{1}{9}-\frac{1}{9})+3\\&=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{18}+3\\&=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{3})^{2}+\frac{55}{18}\end{aligned}$
所以$m = \frac{1}{3}$，$k = \frac{55}{18}$。
设点$P(x', y')$满足$x' - m = y' - k = t(t ≠ 0)$，则$x' = m + t$，$y' = k + t$。
因为点$P$在抛物线上，所以：
$k + t = a(m + t - m)^{2} + k$
即$t = a t^{2}$，$a = -\frac{1}{2}$，则：
$t = -\frac{1}{2}t^{2}$
$t^{2} + 2t = 0$，$t(t + 2) = 0$，解得$t = 0$（舍去）或$t = -2$。
“开口大小”为$2|t| = 2|-2| = 4$。
4
