13. (2024·内江)已知二次函数 $ y = x^{2} - 2x + 1 $ 的图像向左平移两个单位得到抛物线 $ C $，点 $ P(2,y_{1}) $，$ Q(3,y_{2}) $ 在抛物线 $ C $ 上，则 $ y_{1} $(填“＞”或“＜”)$ y_{2} $.

13. ＜

二次函数$y = x^{2} - 2x + 1=(x - 1)^{2}$，向左平移两个单位后，抛物线$C$的解析式为$y=(x - 1 + 2)^{2}=(x + 1)^{2}$。
当$x = 2$时，$y_{1}=(2 + 1)^{2}=9$；当$x = 3$时，$y_{2}=(3 + 1)^{2}=16$。
因为$9＜16$，所以$y_{1}＜y_{2}$。
＜

14. (2024·乐山)已知二次函数 $ y = x^{2} - 2x(-1 ≤ x ≤ t - 1) $，当 $ x = -1 $ 时，函数取得最大值；当 $ x = 1 $ 时，函数取得最小值，则 $ t $ 的取值范围是()

A.$ 0 ＜ t ≤ 2 $
B.$ 0 ＜ t ≤ 4 $
C.$ 2 ≤ t ≤ 4 $
D.$ t ≥ 2 $

14. C

二次函数$y = x^2 - 2x$的对称轴为$x = -\frac{-2}{2×1} = 1$，开口向上。
因为当$x = 1$时函数取得最小值，所以$1$必须在自变量取值范围$[-1, t - 1]$内，即$t - 1 ≥ 1$，解得$t ≥ 2$。
又因为当$x = -1$时函数取得最大值，且抛物线开口向上，对称轴为$x = 1$，所以$t - 1$到对称轴$x = 1$的距离不能大于$-1$到对称轴$x = 1$的距离。$-1$到$1$的距离为$2$，则$t - 1 - 1 ≤ 2$，即$t - 2 ≤ 2$，解得$t ≤ 4$。
综上，$t$的取值范围是$2 ≤ t ≤ 4$。
C

15. 已知二次函数 $ y = mx^{2} - 4m^{2}x - 3 $($ m $ 为常数，$ m ≠ 0 $)，点 $ P(x_{p}, y_{p}) $ 是该函数图像上一点，当 $ 0 ≤ x_{p} ≤ 4 $ 时，$ y_{p} ≤ -3 $，则 $ m $ 的取值范围是()

A.$ m ≥ 1 $ 或 $ m ＜ 0 $
B.$ m ≥ 1 $
C.$ m ≤ -1 $ 或 $ m ＞ 0 $
D.$ m ≤ -1 $

15. A

16. (2023·绍兴)已知二次函数 $ y = -x^{2} + bx + c $.
(1) 当 $ b = 4 $，$ c = 3 $ 时，
① 求该函数图像的顶点坐标；
② 当 $ -1 ≤ x ≤ 3 $ 时，求 $ y $ 的取值范围；
(2) 当 $ x ≤ 0 $ 时，$ y $ 的最大值为 2；当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 的最大值为 3，求二次函数的表达式.

16. (1) ① $\because b = 4$，$c = 3$，$\therefore y = - x^{2}+4x + 3 = -(x - 2)^{2}+7$。$\therefore$顶点坐标为$(2,7)$。② $\because - 1≤ x≤ 3$中含有顶点$(2,7)$，$\therefore$当$x = 2$时，$y$有最大值7。$\because 2 - (-1)＞3 - 2$，$\therefore$当$x = - 1$时，$y$有最小值-2。$\therefore$当$-1≤ x≤ 3$时，$-2≤ y≤ 7$。 (2) $\because x≤ 0$时，$y$的最大值为2；$x ＞ 0$时，$y$的最大值为3，$\therefore$抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在$y$轴的右侧，$\therefore b ＞ 0$。$\because$抛物线开口向下，$x≤ 0$时，$y$的最大值为2，$\therefore c = 2$。又$\because \frac{4×(-1)× c - b^{2}}{4×(-1)} = 3$，$\therefore b = \pm 2$。$\because b ＞ 0$，$\therefore b = 2$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = - x^{2}+2x + 2$。

(1) ① $\because b=4$，$c=3$，$\therefore y=-x^{2}+4x+3=-(x-2)^{2}+7$，$\therefore$顶点坐标为$(2,7)$。② $\because -1≤ x≤ 3$，抛物线开口向下，顶点$(2,7)$在该区间内，$\therefore$当$x=2$时，$y$取最大值$7$。当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}+4×(-1)+3=-2$；当$x=3$时，$y=-(3)^{2}+4×3+3=6$，$\because -2＜6$，$\therefore y$的最小值为$-2$，$\therefore y$的取值范围是$-2≤ y≤7$。(2) $\because$抛物线开口向下，当$x≤0$时，$y$最大值为$2$；当$x＞0$时，$y$最大值为$3$，$\therefore$对称轴$x=\frac{b}{2}＞0$，即$b＞0$。当$x≤0$时，函数在$x=0$处取得最大值，$\therefore c=2$。当$x＞0$时，函数在顶点处取得最大值，$\frac{4×(-1)× c - b^{2}}{4×(-1)}=3$，将$c=2$代入得$\frac{-8 - b^{2}}{-4}=3$，解得$b=\pm2$，$\because b＞0$，$\therefore b=2$，$\therefore$二次函数表达式为$y=-x^{2}+2x+2$。

17. 如图，已知二次函数 $ y = x^{2} + ax + 3 $ 的图像经过 $ P $ 点 $ (2,3) $.

(1) 求 $ a $ 的值和图像的顶点坐标.
(2) 点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数的图像上.
① 当 $ m = -2 $ 时，求 $ n $ 的值；
② 若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于 2，请根据图像直接写出 $ n $ 的取值范围.

17. (1) 把点$P(2,3)$代入$y = x^{2}+ax + 3$中，$\therefore a = - 2$，$\therefore y = x^{2}-2x + 3 = (x - 1)^{2}+2$，$\therefore$顶点坐标为$(1,2)$； (2) ① 当$m = - 2$时，$n = (-2)^{2}-2×(-2)+3 = 11$；② 点$Q$到$y$轴的距离小于2，$\therefore |m| ＜ 2$，$\therefore - 2 ＜ m ＜ 2$，$\therefore 2≤ n ＜ 11$。

(1) 把点$P(2,3)$代入$y = x^{2}+ax + 3$，得$3 = 2^{2}+2a + 3$，解得$a=-2$。$\therefore y=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，顶点坐标为$(1,2)$。
(2) ① 当$m=-2$时，$n=(-2)^{2}-2×(-2)+3=4 + 4 + 3=11$。
② $2≤ n＜11$。

18. (2024·南京模拟)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ (1,y_{1}) $，$ (3,y_{2}) $ 在抛物线 $ y = x^{2} - 2mx + m^{2} $ 上.
(1) 抛物线的顶点为；
(2) 若 $ y_{1} ＜ y_{2} $，求 $ m $ 的取值范围；
(3) 若点 $ (x_{0},y_{0}) $ 在抛物线上，若存在 $ -1 ＜ x_{0} ＜ 0 $，使 $ y_{1} ＜ y_{0} ＜ y_{2} $ 成立，求 $ m $ 的取值范围.

18. (1) $(m,0)$ (2) $\because$点$(1,y_{1})$，$(3,y_{2})$在抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}$上，且$y_{1} ＜ y_{2}$，$\therefore 1 - 2m + m^{2} ＜ 9 - 6m + m^{2}$，$\therefore m ＜ 2$； (3) $\because$点$(x_{0},y_{0})$在抛物线上，存在$-1 ＜ x_{0} ＜ 0$，使$y_{1} ＜ y_{0} ＜ y_{2}$成立，$\therefore \{\begin{array}{l}\frac{0 + 1}{2} ＜ m,\frac{0 + 3}{2} ＞ m\end{array} $或$\{\begin{array}{l}\frac{-1 + 1}{2} ＜ m,\frac{-1 + 3}{2} ＞ m,\end{array} $解得$0 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$。

(1) $(m,0)$
(2) 解：$\because$点$(1,y_{1})$，$(3,y_{2})$在抛物线$y=x^{2}-2mx+m^{2}$上，
$\therefore y_{1}=1 - 2m + m^{2}$，$y_{2}=9 - 6m + m^{2}$。
$\because y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore 1 - 2m + m^{2}＜9 - 6m + m^{2}$，
解得$m＜2$。
(3) 解：抛物线$y=(x - m)^{2}$，对称轴为直线$x=m$。
当点$x_{0}$在$-1＜x_{0}＜0$时，$y_{1}＜y_{0}＜y_{2}$成立，
则需满足$\begin{cases}\frac{0 + 1}{2}＜m\\frac{0 + 3}{2}＞m\end{cases}$或$\begin{cases}\frac{-1 + 1}{2}＜m\\frac{-1 + 3}{2}＞m\end{cases}$，
解得$0＜m＜\frac{3}{2}$。