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1. 若抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 经过点 $ (-2,3) $，则 $ 2c - 4b - 9 $ 的值是(
A.5
B.-1
C.4
D.18
A
)A.5
B.-1
C.4
D.18
答案
1. A
解析
因为抛物线$y = -x^{2} + bx + c$经过点$(-2,3)$，所以将$x=-2$，$y=3$代入抛物线方程可得：$3=-(-2)^{2}+b×(-2)+c$，即$3=-4 - 2b + c$，整理得$c - 2b = 7$。两边同时乘以2得$2c - 4b = 14$，则$2c - 4b - 9=14 - 9=5$。
A
A
2. (2024·贵州)如图，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的部分图像与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标是 -3，顶点坐标为 $ (-1,4) $，则下列说法正确的是(
A.二次函数图像的对称轴是直线 $ x = 1 $
B.二次函数图像与 $ x $ 轴的另一个交点的横坐标是 2
C.当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.二次函数图像与 $ y $ 轴的交点的纵坐标是 3
D
)A.二次函数图像的对称轴是直线 $ x = 1 $
B.二次函数图像与 $ x $ 轴的另一个交点的横坐标是 2
C.当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.二次函数图像与 $ y $ 轴的交点的纵坐标是 3
答案
2. D
解析
解：
A. 顶点坐标为$(-1,4)$，对称轴为直线$x=-1$，A错误；
B. 抛物线与$x$轴一个交点为$(-3,0)$，对称轴$x=-1$，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，B错误；
C. 抛物线开口向下（顶点为最高点），当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 设抛物线解析式为$y=a(x+1)^2+4$，将$(-3,0)$代入得$0=a(-3+1)^2+4$，解得$a=-1$，则$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$，与$y$轴交点纵坐标为$3$，D正确。
答案：D
A. 顶点坐标为$(-1,4)$，对称轴为直线$x=-1$，A错误；
B. 抛物线与$x$轴一个交点为$(-3,0)$，对称轴$x=-1$，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，B错误；
C. 抛物线开口向下（顶点为最高点），当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 设抛物线解析式为$y=a(x+1)^2+4$，将$(-3,0)$代入得$0=a(-3+1)^2+4$，解得$a=-1$，则$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$，与$y$轴交点纵坐标为$3$，D正确。
答案：D
3. 由于卷面污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图像经过 $ (1,0)··· $，求证：这个二次函数的图像关于 $ x = 2 $ 对称. 根据已知信息，题中二次函数图像不具有的性质是(
A.过点 $ (3,0) $
B.在 $ x $ 轴上截线段长是 2
C.顶点 $ (2,-2) $
D.与 $ y $ 轴交点是 $ (0,3) $
C
)A.过点 $ (3,0) $
B.在 $ x $ 轴上截线段长是 2
C.顶点 $ (2,-2) $
D.与 $ y $ 轴交点是 $ (0,3) $
答案
3. C
解析
已知二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图像经过$(1,0)$，且图像关于$x = 2$对称。
因为二次函数对称轴为$x = -\frac{b}{2} = 2$，所以$b = -4$，函数为$y = x^{2}-4x + c$。
又因为图像过$(1,0)$，代入得$1 - 4 + c = 0$，解得$c = 3$，函数为$y = x^{2}-4x + 3$。
A. 当$x = 3$时，$y = 9 - 12 + 3 = 0$，过点$(3,0)$，正确。
B. 与$x$轴交点为$(1,0)$，$(3,0)$，截线段长为$3 - 1 = 2$，正确。
C. 顶点横坐标为$2$，纵坐标为$y = 4 - 8 + 3 = -1$，顶点为$(2,-1)$，不是$(2,-2)$，错误。
D. 当$x = 0$时，$y = 3$，与$y$轴交点是$(0,3)$，正确。
题中二次函数图像不具有的性质是C。
C
因为二次函数对称轴为$x = -\frac{b}{2} = 2$，所以$b = -4$，函数为$y = x^{2}-4x + c$。
又因为图像过$(1,0)$，代入得$1 - 4 + c = 0$，解得$c = 3$，函数为$y = x^{2}-4x + 3$。
A. 当$x = 3$时，$y = 9 - 12 + 3 = 0$，过点$(3,0)$，正确。
B. 与$x$轴交点为$(1,0)$，$(3,0)$，截线段长为$3 - 1 = 2$，正确。
C. 顶点横坐标为$2$，纵坐标为$y = 4 - 8 + 3 = -1$，顶点为$(2,-1)$，不是$(2,-2)$，错误。
D. 当$x = 0$时，$y = 3$，与$y$轴交点是$(0,3)$，正确。
题中二次函数图像不具有的性质是C。
C
4. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a ＞ 0) $ 的对称轴是过点 $ (1,0) $ 且平行于 $ y $ 轴的直线，若点 $ P(4,0) $ 在该抛物线上，则 $ 4a - 2b + c $ 的值为
0
.答案
4. 0
解析
解：
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(4,0)$在抛物线上，
∴点$P(4,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(-2,0)$，
将$(-2,0)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$a(-2)^{2}+b(-2)+c=0$，
即$4a - 2b + c = 0$。
0
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(4,0)$在抛物线上，
∴点$P(4,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(-2,0)$，
将$(-2,0)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$a(-2)^{2}+b(-2)+c=0$，
即$4a - 2b + c = 0$。
0
5. (2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $，若点 $ C(2,3) $ 在抛物线上，则 $ AB $ 的长为
4
.答案
5. 4
解析
解：将点$B(3,0)$，$C(2,3)$代入$y = ax^{2} + bx + 3$，得
$\begin{cases}9a + 3b + 3 = 0 \\ 4a + 2b + 3 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 2\end{cases}$
抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$
令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3=0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
$A(-1,0)$，$B(3,0)$
$AB=|3 - (-1)|=4$
4
$\begin{cases}9a + 3b + 3 = 0 \\ 4a + 2b + 3 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 2\end{cases}$
抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$
令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3=0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
$A(-1,0)$，$B(3,0)$
$AB=|3 - (-1)|=4$
4
6. 抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 过点 $ (0,-5) $ 和 $ (2,1) $.
(1) 求 $ b $，$ c $ 的值；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 有最大值？
(1) 求 $ b $，$ c $ 的值；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 有最大值？
答案
6. (1)
∵ 抛物线 $ y = -x^{2}+bx + c $ 过点 $ (0,-5) $ 和 $ (2,1) $.
$ \therefore \{\begin{array}{l} c = -5,\\ -4 + 2b + c = 1.\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} b = 5,\\ c = -5.\end{array} $ $ \therefore b,c $ 的值分别为 $ 5,-5 $. (2)
∵ 抛物线 $ y = -x^{2}+5x - 5 $ 中, $ a = -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = -\frac{5}{2×(-1)} = \frac{5}{2} $ 时 $ y $ 有最大值.
∵ 抛物线 $ y = -x^{2}+bx + c $ 过点 $ (0,-5) $ 和 $ (2,1) $.
$ \therefore \{\begin{array}{l} c = -5,\\ -4 + 2b + c = 1.\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} b = 5,\\ c = -5.\end{array} $ $ \therefore b,c $ 的值分别为 $ 5,-5 $. (2)
∵ 抛物线 $ y = -x^{2}+5x - 5 $ 中, $ a = -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = -\frac{5}{2×(-1)} = \frac{5}{2} $ 时 $ y $ 有最大值.
7. (2023·宁波)如图，已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 图像经过点 $ A(1,-2) $ 和 $ B(0,-5) $.
(1) 求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标.
(2) 当 $ y ≤ -2 $ 时，请根据图像直接写出 $ x $ 的取值范围.
(1) 求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标.
(2) 当 $ y ≤ -2 $ 时，请根据图像直接写出 $ x $ 的取值范围.
答案
7. (1) 把 $ A(1,-2) $ 和 $ B(0,-5) $ 代入 $ y = x^{2}+bx + c $ 得:
$ \{\begin{array}{l} 1 + b + c = -2,\\ c = -5.\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} b = 2,\\ c = -5.\end{array} $ $ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y = x^{2}+2x - 5 $. $ \because y = x^{2}+2x - 5 = (x + 1)^{2}-6 $. $ \therefore $ 顶点
坐标为 $ (-1,-6) $; (2) $ -3≤ x≤ 1 $
$ \{\begin{array}{l} 1 + b + c = -2,\\ c = -5.\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} b = 2,\\ c = -5.\end{array} $ $ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y = x^{2}+2x - 5 $. $ \because y = x^{2}+2x - 5 = (x + 1)^{2}-6 $. $ \therefore $ 顶点
坐标为 $ (-1,-6) $; (2) $ -3≤ x≤ 1 $
