12. (2024·通辽)如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = - \frac { 3 } { 2 } x + 3 $ 与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ C $，$ D $，抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 4 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + k $（$ k $ 为常数）经过点 $ D $ 且交 $ x $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点.
(1) 求抛物线表示的函数解析式；
(2) 若点 $ P $ 为抛物线的顶点，连接 $ AD $，$ DP $，$ CP $. 求四边形 $ ACPD $ 的面积.

12. (1) 在 $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ 中，令 $ x = 0 $ 得 $ y = 3 $，$ \therefore D(0, 3) $。$ \because $ 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + k $ 经过点 $ D(0, 3) $，$ \therefore 3 = -\frac{1}{4} × (0 - 2)^2 + k $，解得 $ k = 4 $，$ \therefore y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4 = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3 $，$ \therefore $ 抛物线表示的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3 $；(2) 连接 $ OP $，如图，在 $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ 中，令 $ y = 0 $ 得 $ x = 2 $，$ \therefore C(2, 0) $，$ OC = 2 $，在 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3 $ 中，令 $ y = 0 $ 得 $ 0 = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3 $，解得 $ x = 6 $ 或 $ x = -2 $，$ \therefore A(-2, 0) $，$ OA = 2 $，由 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4 $ 可得抛物线顶点 $ P $ 坐标为 $ (2, 4) $，$ \therefore S_{\mathrm{四边形} ACPD} = S_{△ AOD} + S_{△ POD} + S_{△ POC} = \frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × 2 × 4 = 3 + 3 + 4 = 10 $，$ \therefore $ 四边形 $ ACPD $ 的面积为 10。

13. 点 $ A ( m - 1, y _ { 1 } ) $，$ B ( m, y _ { 2 } ) $ 都在二次函数 $ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } + n $ 的图像上. 若 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $，则 $ m $ 的取值范围为()

A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ＞ \frac { 3 } { 2 } $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ \frac { 3 } { 2 } ＜ m ＜ 2 $

13. B

二次函数$y=(x - 1)^2 + n$的对称轴为直线$x = 1$，开口向上。
点$A(m - 1, y_1)$到对称轴的距离为$|(m - 1)-1|=|m - 2|$；点$B(m, y_2)$到对称轴的距离为$|m - 1|$。
因为$y_1 ＜ y_2$，且抛物线开口向上，所以点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，即$|m - 2| ＜ |m - 1|$。
两边平方得$(m - 2)^2 ＜ (m - 1)^2$，展开得$m^2 - 4m + 4 ＜ m^2 - 2m + 1$，移项化简得$-2m ＜ -3$，解得$m ＞ \frac{3}{2}$。
B

14. 如图，已知点 $ M ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ N ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 在二次函数 $ y = a ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 ( a ＞ 0 ) $ 的图像上，且 $ x _ { 2 } - x _ { 1 } = 3 $.
(1) 若二次函数的图像经过点 $ ( 3, 1 ) $.
① 求这个二次函数的表达式；
② 若 $ y _ { 1 } = y _ { 2 } $，求顶点到 $ MN $ 的距离；
(2) 当 $ x _ { 1 } ≤ x ≤ x _ { 2 } $ 时，二次函数的最大值与最小值的差为 1，点 $ M $，$ N $ 在对称轴的异侧，直接写出 $ a $ 的取值范围.

14. (1) ① $ \because $ 二次函数 $ y = a(x - 2)^2 - 1(a ＞ 0) $ 经过 $ (3, 1) $，$ \therefore 1 = a - 1 $，$ \therefore a = 2 $，$ \therefore $ 二次函数的解析式为 $ y = 2(x - 2)^2 - 1 $；② $ \because y_1 = y_2 $，$ \therefore M $，$ N $ 关于抛物线的对称轴对称，$ \because $ 对称轴是直线 $ x = 2 $，且 $ x_2 - x_1 = 3 $，$ \therefore x_1 = \frac{1}{2} $，$ x_2 = \frac{7}{2} $，当 $ x = \frac{1}{2} $ 时，$ y_1 = 2 × ( \frac{1}{2} - 2 )^2 - 1 = \frac{7}{2} $，$ \therefore $ 当 $ y_1 = y_2 $ 时，顶点到 $ MN $ 的距离 $ = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2} $；(2) $ \frac{1}{9} ＜ a ≤ \frac{4}{9} $

(1) ① 解：
∵二次函数$y = a(x - 2)^2 - 1(a ＞ 0)$经过点$(3, 1)$，
$\therefore 1 = a(3 - 2)^2 - 1$，
$\therefore 1 = a - 1$，
解得$a = 2$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = 2(x - 2)^2 - 1$。
② 解：
∵$y_1 = y_2$，
$\therefore$点$M$，$N$关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线$y = 2(x - 2)^2 - 1$的对称轴为直线$x = 2$，且$x_2 - x_1 = 3$，
$\therefore x_2 = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$，$x_1 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$，
当$x = \frac{1}{2}$时，$y_1 = 2(\frac{1}{2} - 2)^2 - 1 = 2×(-\frac{3}{2})^2 - 1 = 2×\frac{9}{4} - 1 = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}$，
∵抛物线顶点坐标为$(2, -1)$，
$\therefore$顶点到$MN$的距离为$\frac{7}{2} - (-1) = \frac{9}{2}$。
(2)$\frac{1}{9} ＜ a ≤ \frac{4}{9}$