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1. (2023·兰州)已知二次函数 $ y = - 3 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 $，下列说法正确的是(
A.对称轴为 $ x = - 2 $
B.顶点坐标为 $ ( 2, 3 ) $
C.函数的最大值是 $ - 3 $
D.函数的最小值是 $ - 3 $
C
)A.对称轴为 $ x = - 2 $
B.顶点坐标为 $ ( 2, 3 ) $
C.函数的最大值是 $ - 3 $
D.函数的最小值是 $ - 3 $
答案
1. C
2. (2024·台湾)甲、乙两个二次函数分别为 $ y = ( x + 20 ) ^ { 2 } + 60 $、$ y = - ( x - 30 ) ^ { 2 } + 60 $，判断下列叙述正确的是(
A.甲有最大值，且其值为 $ x = 20 $ 时的 $ y $ 值
B.甲有最小值，且其值为 $ x = 20 $ 时的 $ y $ 值
C.乙有最大值，且其值为 $ x = 30 $ 时的 $ y $ 值
D.乙有最小值，且其值为 $ x = 30 $ 时的 $ y $ 值
C
)A.甲有最大值，且其值为 $ x = 20 $ 时的 $ y $ 值
B.甲有最小值，且其值为 $ x = 20 $ 时的 $ y $ 值
C.乙有最大值，且其值为 $ x = 30 $ 时的 $ y $ 值
D.乙有最小值，且其值为 $ x = 30 $ 时的 $ y $ 值
答案
2. C
解析
甲二次函数 $ y=(x+20)^2+60 $，二次项系数为 $ 1＞0 $，抛物线开口向上，有最小值，当 $ x=-20 $ 时，$ y_{\mathrm{min}}=60 $；乙二次函数 $ y=-(x-30)^2+60 $，二次项系数为 $ -1＜0 $，抛物线开口向下，有最大值，当 $ x=30 $ 时，$ y_{\mathrm{max}}=60 $。
C
C
3. (2024·凉山州)抛物线 $ y = \frac { 2 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + c $ 经过 $ ( - 2, y _ { 1 } ) $，$ ( 0, y _ { 2 } ) $，$ ( \frac { 5 } { 2 }, y _ { 3 } ) $ 三点，则 $ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $，$ y _ { 3 } $ 的大小关系正确的是(
A.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } ＞ y _ { 3 } $
B.$ y _ { 2 } ＞ y _ { 3 } ＞ y _ { 1 } $
C.$ y _ { 3 } ＞ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $
D.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 3 } ＞ y _ { 2 } $
D
)A.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } ＞ y _ { 3 } $
B.$ y _ { 2 } ＞ y _ { 3 } ＞ y _ { 1 } $
C.$ y _ { 3 } ＞ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $
D.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 3 } ＞ y _ { 2 } $
答案
3. D
解析
抛物线$y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c$的对称轴为直线$x = 1$，开口向上。
点$(-2, y_1)$到对称轴的距离为$| - 2 - 1| = 3$；
点$(0, y_2)$到对称轴的距离为$|0 - 1| = 1$；
点$(\frac{5}{2}, y_3)$到对称轴的距离为$|\frac{5}{2} - 1| = \frac{3}{2}$。
因为$3 ＞ \frac{3}{2} ＞ 1$，且抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
D
点$(-2, y_1)$到对称轴的距离为$| - 2 - 1| = 3$；
点$(0, y_2)$到对称轴的距离为$|0 - 1| = 1$；
点$(\frac{5}{2}, y_3)$到对称轴的距离为$|\frac{5}{2} - 1| = \frac{3}{2}$。
因为$3 ＞ \frac{3}{2} ＞ 1$，且抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
D
4. 如图，二次函数 $ y = a ( x + 2 ) ^ { 2 } + k $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B ( - 1, 0 ) $ 两点，则下列说法正确的是(
A.$ a ＜ 0 $
B.点 $ A $ 的坐标为 $ ( - 4, 0 ) $
C.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.图像的对称轴为直线 $ x = - 2 $
D
)A.$ a ＜ 0 $
B.点 $ A $ 的坐标为 $ ( - 4, 0 ) $
C.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.图像的对称轴为直线 $ x = - 2 $
答案
4. D
解析
解：
A. 抛物线开口向上，$a＞0$，A错误；
B. 对称轴为$x=-2$，点$B(-1,0)$关于$x=-2$对称的点$A$坐标为$(-3,0)$，B错误；
C. 当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而减小；当$-2＜x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，C错误；
D. 二次函数$y=a(x+2)^2+k$的对称轴为直线$x=-2$，D正确。
答案：D
A. 抛物线开口向上，$a＞0$，A错误；
B. 对称轴为$x=-2$，点$B(-1,0)$关于$x=-2$对称的点$A$坐标为$(-3,0)$，B错误；
C. 当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而减小；当$-2＜x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，C错误；
D. 二次函数$y=a(x+2)^2+k$的对称轴为直线$x=-2$，D正确。
答案：D
5. 已知二次函数 $ y = ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $，当 $ x $
$ x ＜ 2 $（或 $ x ≤ 2 $）
时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.答案
5. $ x ＜ 2 $（或 $ x ≤ 2 $）
解析
$x ＜ 2$（或$x ≤ 2$）
6. (2023·哈尔滨)抛物线 $ y = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + 6 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是
$ (0, 2) $
.答案
6. $ (0, 2) $
解析
解：当$x=0$时，$y=-(0 + 2)^2 + 6 = -4 + 6 = 2$，所以抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0, 2)$。
7. 将抛物线 $ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 5 $ 关于 $ y $ 轴翻折，再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是
$ (2, -5) $
.答案
7. $ (2, -5) $
解析
解：抛物线$y=(x - 1)^2 - 5$的顶点坐标为$(1, -5)$。
关于$y$轴翻折后顶点坐标变为$(-1, -5)$。
再向右平移$3$个单位长度，顶点坐标为$(-1 + 3, -5)=(2, -5)$。
$(2, -5)$
关于$y$轴翻折后顶点坐标变为$(-1, -5)$。
再向右平移$3$个单位长度，顶点坐标为$(-1 + 3, -5)=(2, -5)$。
$(2, -5)$
8. (2024·滨州)将抛物线 $ y = - x ^ { 2 } $ 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为
$ (1, 2) $
.答案
8. $ (1, 2) $
解析
抛物线$y = -x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。向右平移1个单位长度，顶点的横坐标变为$0 + 1=1$；再向上平移2个单位长度，顶点的纵坐标变为$0+2 = 2$，所以平移后抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
$(1, 2)$
$(1, 2)$
9. 已知抛物线 $ y = a ( x - h ) ^ { 2 } + k $ 与 $ x $ 轴有两个交点 $ A ( - 1, 0 ) $，$ B ( 3, 0 ) $，抛物线 $ y = a ( x - h - m ) ^ { 2 } + k $ 与 $ x $ 轴的一个交点是 $ ( 4, 0 ) $，则 $ m $ 的值是(
A.5
B.$ - 1 $
C.5 或 1
D.$ - 5 $ 或 $ - 1 $
C
)A.5
B.$ - 1 $
C.5 或 1
D.$ - 5 $ 或 $ - 1 $
答案
9. C
解析
解：抛物线$y = a(x - h)^2 + k$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$，其对称轴为$x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$，即$h = 1$。
抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k = a(x - 1 - m)^2 + k$的对称轴为$x = 1 + m$。
已知该抛物线与$x$轴一个交点为$(4,0)$，设另一交点为$(x,0)$，则对称轴$x = 1 + m = \frac{4 + x}{2}$，即$x = 2m - 2$。
原抛物线与$x$轴交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，平移后交点为$(4,0)$和$(2m - 2,0)$。
情况1：$4 = -1 + m$，解得$m = 5$，此时另一交点为$2×5 - 2 = 8$。
情况2：$4 = 3 + m$，解得$m = 1$，此时另一交点为$2×1 - 2 = 0$。
综上，$m = 5$或$1$。
C
抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k = a(x - 1 - m)^2 + k$的对称轴为$x = 1 + m$。
已知该抛物线与$x$轴一个交点为$(4,0)$，设另一交点为$(x,0)$，则对称轴$x = 1 + m = \frac{4 + x}{2}$，即$x = 2m - 2$。
原抛物线与$x$轴交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，平移后交点为$(4,0)$和$(2m - 2,0)$。
情况1：$4 = -1 + m$，解得$m = 5$，此时另一交点为$2×5 - 2 = 8$。
情况2：$4 = 3 + m$，解得$m = 1$，此时另一交点为$2×1 - 2 = 0$。
综上，$m = 5$或$1$。
C
10. (2023·内蒙古)已知二次函数 $ y = - a x ^ { 2 } + 2 a x + 3 ( a ＞ 0 ) $，若点 $ P ( m, 3 ) $ 在该函数的图像上，且 $ m ≠ 0 $，则 $ m $ 的值为
2
.答案
10. 2
解析
将点$P(m, 3)$代入二次函数$y = -ax^2 + 2ax + 3$，得：
$3 = -am^2 + 2am + 3$
移项化简：
$-am^2 + 2am = 0$
提取公因式：
$-am(m - 2) = 0$
因为$a ＞ 0$，所以$-a ≠ 0$，则：
$m = 0$或$m - 2 = 0$
又因为$m ≠ 0$，所以$m = 2$
2
$3 = -am^2 + 2am + 3$
移项化简：
$-am^2 + 2am = 0$
提取公因式：
$-am(m - 2) = 0$
因为$a ＞ 0$，所以$-a ≠ 0$，则：
$m = 0$或$m - 2 = 0$
又因为$m ≠ 0$，所以$m = 2$
2
11. 已知抛物线 $ y = a ( x - 4 ) ^ { 2 } + 2 $ 经过点 $ ( 2, - 2 ) $.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 若点 $ A ( m, y _ { 1 } ) $，$ B ( n, y _ { 2 } ) ( m ＜ n ＜ 4 ) $ 都在该抛物线上，试比较 $ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的大小.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 若点 $ A ( m, y _ { 1 } ) $，$ B ( n, y _ { 2 } ) ( m ＜ n ＜ 4 ) $ 都在该抛物线上，试比较 $ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的大小.
答案
11. (1) $ \because $ 抛物线 $ y = a(x - 4)^2 + 2 $ 经过点 $ (2, -2) $，$ \therefore -2 = a(2 - 4)^2 + 2 $，解得 $ a = -1 $；(2) $ \because y = -(x - 4)^2 + 2 $，$ \therefore $ 抛物线对称轴为直线 $ x = 4 $，$ \because a = -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x ＜ 4 $ 时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大，$ \because m ＜ n ＜ 4 $，$ \therefore A $，$ B $ 在对称轴左侧，$ \therefore y_1 ＜ y_2 $。
