1. 如图，直线 $ l_{1}// l_{2}// l_{3} $，直线 $ AC $ 和 $ DF $ 被 $ l_{1},l_{2},l_{3} $ 所截，$ AB = 5 $，$ BC = 6 $，$ EF = 4 $，则 $ DE $ 的长为
()

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ \frac{10}{3} $

1. D

解：
∵直线$ l_{1}// l_{2}// l_{3} $，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$ AB = 5 $，$ BC = 6 $，$ EF = 4 $，
∴$\frac{5}{6}=\frac{DE}{4}$，
解得$ DE=\frac{5×4}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$。
答案：D

2. (2023·吉林)如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，过点 $ D $ 作 $ DE// BC $，交 $ AC $ 点 $ E $. 若 $ AD = 2 $，$ BD = 3 $，则 $ \frac{AE}{AC} $ 的值是
()

A.$ \frac{2}{5} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{2}{3} $

2. A

解：因为 $DE // BC$，所以 $△ ADE ∼ △ ABC$。
所以 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
因为 $AD = 2$，$BD = 3$，所以 $AB = AD + BD = 2 + 3 = 5$。
因此 $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$。
答案：A

3. 如图，$ AB// CD $，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ E $，$ AE = 1 $，$ EC = 2 $，$ DE = 3 $，则 $ BD $ 的长为
()

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ 4 $
C.$ \frac{9}{2} $
D.$ 6 $

3. C

证明：因为 $AB // CD$，所以 $∠ A = ∠ C$，$∠ B = ∠ D$。
所以 $△ ABE ∼ △ CDE$。
所以 $\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$。
因为 $AE = 1$，$EC = 2$，$DE = 3$，
所以 $\frac{1}{2} = \frac{BE}{3}$，解得 $BE = \frac{3}{2}$。
所以 $BD = BE + DE = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$。
答案：C

4. 如图，$ AB// EF// DC $，$ AD// BC $，$ EF $ 与 $ AC $ 交于点 $ G $，则相似三角形共有
()

A.$ 3 $ 对
B.$ 5 $ 对
C.$ 6 $ 对
D.$ 8 $ 对

4. C

证明：
∵ $AB // EF // DC$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$∠ D = ∠ B$，$∠ DAB = ∠ BCD$。
1. $EF // DC$，$EF // AB$，

∴ $△ AEG ∼ △ ADC$（AA，$∠ EAG = ∠ DAC$，$∠ AEG = ∠ ADC$）；
$△ CFG ∼ △ CBA$（AA，$∠ FCG = ∠ BCA$，$∠ CFG = ∠ CBA$）。
2. $EF // AB$，

∴ $△ AEG ∼ △ CFG$（AA，$∠ AGE = ∠ CGF$，$∠ AEG = ∠ CFG$）。
3. 由 $△ AEG ∼ △ ADC$ 和 $△ CFG ∼ △ CBA$，且 $AD // BC$，
可得 $△ ADC ∼ △ CBA$（平行四边形对边相等，对应角相等，SAS）。
4. 由相似传递性：
$△ AEG ∼ △ CBA$（$△ AEG ∼ △ ADC ∼ △ CBA$）；
$△ CFG ∼ △ ADC$（$△ CFG ∼ △ CBA ∼ △ ADC$）。
综上，相似三角形有：
$△ AEG ∼ △ ADC$，$△ CFG ∼ △ CBA$，$△ AEG ∼ △ CFG$，$△ ADC ∼ △ CBA$，$△ AEG ∼ △ CBA$，$△ CFG ∼ △ ADC$，共6对。
答案：C

5. 如图，点 $ A $，$ B $ 都在格点上，若 $ BC = \frac{2\sqrt{13}}{3} $，则 $ AC $ 的长为
()

A.$ \sqrt{13} $
B.$ \frac{4\sqrt{13}}{3} $
C.$ 2\sqrt{13} $
D.$ 3\sqrt{13} $

5. B

以点$ B $为原点建立平面直角坐标系，设每个小方格边长为1，则$ B(0,0) $，$ A(6,4) $。
$ AB $的距离：$\sqrt{(6-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
设$ AC = x $，则$ AB = AC + BC $，即$ 2\sqrt{13} = x + \frac{2\sqrt{13}}{3} $。
解得$ x = 2\sqrt{13} - \frac{2\sqrt{13}}{3} = \frac{6\sqrt{13} - 2\sqrt{13}}{3} = \frac{4\sqrt{13}}{3}$。
B

6. 如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在 $ BC $ 边上，连接 $ AD $，点 $ E $ 在 $ AC $ 边上，过点 $ E $ 作 $ EF// BC $，交 $ AD $ 于点 $ F $，过点 $ E $ 作 $ EG// AB $，交 $ BC $ 于点 $ G $，则下列式子一定正确的是
()

A.$ \frac{AE}{EC} = \frac{EF}{CD} $
B.$ \frac{EF}{CD} = \frac{EG}{AB} $
C.$ \frac{AF}{FD} = \frac{BG}{GC} $
D.$ \frac{CG}{BC} = \frac{AF}{AD} $

6. C

证明：
∵ $EF // BC$，
∴ $\frac{AF}{FD} = \frac{AE}{EC}$（平行线分线段成比例定理）。
∵ $EG // AB$，
∴ $\frac{BG}{GC} = \frac{AE}{EC}$（平行线分线段成比例定理）。
∴ $\frac{AF}{FD} = \frac{BG}{GC}$。
结论：C选项正确。
答案：C

7. (2023·北京)如图，直线 $ AD $，$ BC $ 交于点 $ O $，$ AB// EF// CD $，若 $ AO = 2 $，$ OF = 1 $，$ FD = 2 $，则 $ \frac{BE}{EC} $ 的值为.

7. $\frac{3}{2}$