10. 如图中的两个多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$相似(各字母已按对应关系排列),若$∠ A=∠ D_1 = 135^{\circ}$,$∠ B=∠ E_1 = 120^{\circ}$,$∠ C_1 = 95^{\circ}$.
(1) 求$∠ F$的度数;
(2) 如果多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$的相似比是$\frac{2}{3}$,且$CD = 15\mathrm{cm}$,求$C_1D_1$的长度.
]

10. (1) $ \because $ 多边形 $ ABCDEF ∽ $ 多边形 $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1} $，$ \therefore ∠ A = ∠ A_{1} $，$ ∠ B = ∠ B_{1} $，$ ∠ C = ∠ C_{1} $，$ ∠ D = ∠ D_{1} $，$ ∠ E = ∠ E_{1} $，$ ∠ F = ∠ F_{1} $。$ \because ∠ A = ∠ D_{1} = 135^{\circ} $，$ ∠ B = ∠ E_{1} = 120^{\circ} $，$ ∠ C_{1} = 95^{\circ} $，$ \therefore ∠ A = 135^{\circ} $，$ ∠ B = 120^{\circ} $，$ ∠ C = 95^{\circ} $，$ ∠ D = 135^{\circ} $，$ ∠ E = 120^{\circ} $。$ \because $ 六边形的内角和为 $ (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $，$ \therefore ∠ F = 720^{\circ} - ∠ A - ∠ B - ∠ C - ∠ D - ∠ E $，$ \therefore ∠ F = 720^{\circ} - 135^{\circ} - 120^{\circ} - 95^{\circ} - 135^{\circ} - 120^{\circ} = 115^{\circ} $。(2) $ \because $ 多边形 $ ABCDEF ∽ $ 多边形 $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1} $，$ \therefore CD:C_{1}D_{1} = \frac{2}{3} $。$ \because CD = 15cm $，$ \therefore C_{1}D_{1} = 22.5(cm) $。答：$ C_{1}D_{1} $ 的长度为 $ 22.5cm $。

(1) $ \because $ 多边形 $ABCDEF ∼ $ 多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，
$ \therefore ∠ A = ∠ A_1$，$∠ B = ∠ B_1$，$∠ C = ∠ C_1$，$∠ D = ∠ D_1$，$∠ E = ∠ E_1$，$∠ F = ∠ F_1$。
$ \because ∠ A = ∠ D_1 = 135° $，$∠ B = ∠ E_1 = 120° $，$∠ C_1 = 95° $，
$ \therefore ∠ A = 135° $，$∠ B = 120° $，$∠ C = 95° $，$∠ D = 135° $，$∠ E = 120° $。
$ \because $ 六边形内角和为 $(6 - 2) × 180° = 720° $，
$ \therefore ∠ F = 720° - ∠ A - ∠ B - ∠ C - ∠ D - ∠ E $
$ = 720° - 135° - 120° - 95° - 135° - 120° = 115° $。
(2) $ \because $ 多边形 $ABCDEF ∼ $ 多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，相似比为 $\frac{2}{3}$，
$ \therefore \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{2}{3} $。
$ \because CD = 15\mathrm{cm} $，
$ \therefore C_1D_1 = 15 ÷ \frac{2}{3} = 22.5\mathrm{cm} $。
答：(1)$∠ F$的度数为$115°$；(2)$C_1D_1$的长度为$22.5\mathrm{cm}$。

11. 如图,在四边形$ABCD$内任取一点$O$,连接$OA$,$OB$,$OC$,$OD$,分别取$OA$,$OB$,$OC$,$OD$的中点$A'$,$B'$,$C'$,$D'$,连接$A'B'$,$B'C'$,$C'D'$,$D'A'$.四边形$A'B'C'D'$与四边形$ABCD$相似吗? 为什么?

相似。
证明：
∵ $A'$，$B'$，$C'$，$D'$ 分别为 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点，
∴ $A'B' // AB$，$B'C' // BC$，$C'D' // CD$，$D'A' // DA$，
且 $\frac{A'B'}{AB} = \frac{OB'}{OB} = \frac{1}{2}$，同理 $\frac{B'C'}{BC} = \frac{C'D'}{CD} = \frac{D'A'}{DA} = \frac{1}{2}$。
∵ 对应边平行，
∴ $∠ A'B'C' = ∠ ABC$，$∠ B'C'D' = ∠ BCD$，$∠ C'D'A' = ∠ CDA$，$∠ D'A'B' = ∠ DAB$。
∵ 四边形 $A'B'C'D'$ 与四边形 $ABCD$ 的对应边成比例（比例为 $\frac{1}{2}$），对应角相等，
∴ 四边形 $A'B'C'D'$ 与四边形 $ABCD$ 相似。

12. 已知两个直角三角形的三边长分别为$3$,$4$,$m$和$6$,$8$,$n$,且这两个直角三角形不相似,则$m + n$的值为 ()

A.$10+\sqrt{7}$或$5 + 2\sqrt{7}$
B.15
C.$10+\sqrt{7}$
D.$15 + 3\sqrt{7}$

12. A

情况一：第一个直角三角形（3,4,m）
若3,4为直角边，则$m=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
若4为斜边，3为直角边，则$m=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
情况二：第二个直角三角形（6,8,n）
若6,8为直角边，则$n=\sqrt{6^2+8^2}=10$；
若8为斜边，6为直角边，则$n=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
不相似条件分析
当$m=5$（直角边3,4），$n=2\sqrt{7}$（斜边8）时，三边比$3:4:5$与$6:2\sqrt{7}:8$不相似，此时$m+n=5+2\sqrt{7}$；
当$m=\sqrt{7}$（斜边4），$n=10$（直角边6,8）时，三边比$3:\sqrt{7}:4$与$6:8:10$不相似，此时$m+n=10+\sqrt{7}$。
结论
$m + n$的值为$10+\sqrt{7}$或$5 + 2\sqrt{7}$。
A

13. 如图:矩形$ABCD$的长$AB = 30$,宽$BC = 20$.
(1) 如图 1 若沿矩形$ABCD$四周有宽为 1 的环形区域,图中所形成的两个矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似吗? 请说明理由;
(2) 如图 2,$x$为多少时,图中的两个矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似?
]

13. (1) 不相似，理由如下：$ AB = 30 $，$ A'B' = 28 $，$ BC = 20 $，$ B'C' = 18 $，而 $ \frac{28}{30} ≠ \frac{18}{20} $，$ \therefore $ 图中两个矩形不相似；(2) 矩形 $ ABCD $ 与 $ A'B'C'D' $ 相似，则 $ \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} $，则 $ \frac{30 - 2x}{30} = \frac{20 - 2}{20} $，解得 $ x = 1.5 $，或 $ \frac{30 - 2x}{20} = \frac{20 - 2}{30} $，解得 $ x = 9 $。综上所述，$ x = 1.5 $ 或 9 时，图中的两个矩形相似。

(1) 不相似，理由如下：
矩形$ABCD$中，$AB = 30$，$BC = 20$。
环形区域宽为1，所以$A'B' = AB - 2×1=30 - 2=28$，$B'C' = BC - 2×1=20 - 2=18$。
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$。
因为$\frac{14}{15}≠\frac{9}{10}$，所以两个矩形不相似。
(2) 若矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似，则有两种情况：
情况一：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$，即$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$，
$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$，
$10(30 - 2x)=270$，
$300 - 20x=270$，
$-20x=-30$，
解得$x = 1.5$。
情况二：$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$，即$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30}$，
$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$，
$5(30 - 2x)=60$，
$150 - 10x=60$，
$-10x=-90$，
解得$x = 9$。
综上所述，$x = 1.5$或$9$。