8. 已知：如图，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是边 $ BC $，$ CD $ 上的点，且 $ EF// BD $，$ AE $，$ AF $ 分别交 $ BD $ 于点 $ G $ 和点 $ H $，$ BD = 12 $，$ EF = 8 $. 求：
(1) $ \frac{DF}{AB} $ 的值；
(2) 线段 $ GH $ 的长.

8. (1) $\because EF// BD,\therefore △ CFE∽ △ CDB,\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{EF}{BD}.\because BD=12,EF=8,\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{2}{3},\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}.\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB=CD,\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$；(2) $\because DF// AB,\therefore △ DFH∽ △ BAH,\therefore \frac{FH}{AH}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{AH}{AF}=\frac{3}{4}.\because EF// BD,\therefore △ AGH∽ △ AEF,\therefore \frac{GH}{EF}=\frac{AH}{AF}=\frac{3}{4},\therefore \frac{GH}{8}=\frac{3}{4},\therefore GH=6$.

(1) $\because EF // BD$，$\therefore △ CFE ∽ △ CDB$，$\therefore \frac{CF}{CD} = \frac{EF}{BD}$。
$\because BD = 12$，$EF = 8$，$\therefore \frac{CF}{CD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$，$\therefore \frac{DF}{CD} = 1 - \frac{CF}{CD} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB = CD$，$\therefore \frac{DF}{AB} = \frac{1}{3}$。
(2) $\because DF // AB$，$\therefore △ DFH ∽ △ BAH$，$\therefore \frac{DF}{AB} = \frac{FH}{AH} = \frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AF} = \frac{3}{4}$。
$\because EF // BD$，$\therefore △ AGH ∽ △ AEF$，$\therefore \frac{GH}{EF} = \frac{AH}{AF} = \frac{3}{4}$。
$\because EF = 8$，$\therefore \frac{GH}{8} = \frac{3}{4}$，$\therefore GH = 6$。

9. 如图，$ BE $ 是 $ △ ABC $ 的中线，点 $ F $ 在 $ BE $ 上，延长 $ AF $ 交 $ BC $ 于点 $ D $. 若 $ BF = 3FE $，则 $ \frac{BD}{DC} = $.

9. $\frac{3}{2}$

证明：过点 $ E $ 作 $ EG // AD $ 交 $ BC $ 于点 $ G $.
因为 $ BE $ 是 $ △ ABC $ 的中线，所以 $ E $ 是 $ AC $ 的中点.
由于 $ EG // AD $，所以 $ G $ 是 $ DC $ 的中点，即 $ DG = GC $.
因为 $ BF = 3FE $，所以 $ \frac{BF}{FE} = 3 $.
又因为 $ EG // AD $，所以 $ \frac{BD}{DG} = \frac{BF}{FE} = 3 $，即 $ BD = 3DG $.
设 $ DG = x $，则 $ BD = 3x $，$ DC = 2DG = 2x $.
因此，$ \frac{BD}{DC} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} $.
$\frac{3}{2}$

10. 在 $ □ ABCD $ 中，点 $ E $ 在直线 $ AD $ 上，$ AE = \frac{1}{3}AD $，连接 $ CE $ 交 $ BD $ 于点 $ F $，则 $ EF:FC $ 的值是.

10. $2:3$ 或 $4:3$

情况一：点$ E $在线段$ AD $上
设$ AE = x $，则$ AD = 3x $，$ DE = AD - AE = 2x $。
∵ 四边形$ ABCD $是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，$ AD = BC = 3x $。
∵ $ AD // BC $，
∴ $ △ DEF ∼ △ BCF $（相似三角形判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应三角形相似）。
∴ $ \frac{EF}{FC} = \frac{DE}{BC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $，即$ EF:FC = 2:3 $。
情况二：点$ E $在$ AD $的延长线上
设$ AE = x $，则$ AD = 3x $，$ DE = AD + AE = 4x $。
∵ 四边形$ ABCD $是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，$ AD = BC = 3x $。
∵ $ AD // BC $，
∴ $ △ DEF ∼ △ BCF $。
∴ $ \frac{EF}{FC} = \frac{DE}{BC} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} $，即$ EF:FC = 4:3 $。
综上，$ EF:FC $的值是$ 2:3 $或$ 4:3 $。
$2:3$或$4:3$

11. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ EF// BD $，$ DE// BC $. 试说明：$ \frac{AF}{FD} = \frac{AD}{DC} $.

11. $\because EF// BD,\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AE}{BE}.\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{DC}=\frac{AE}{BE},\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DC}$.

证明：
$\because EF // BD$，
$\therefore \frac{AF}{FD} = \frac{AE}{BE}$（平行线分线段成比例定理）。
$\because DE // BC$，
$\therefore \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{BE}$（平行线分线段成比例定理）。
$\therefore \frac{AF}{FD} = \frac{AD}{DC}$。

12. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图 1，已知 $ AD $ 是 $ △ ABC $ 的角平分线，可证 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $. 小慧的证明思路是：如图 2，过点 $ C $ 作 $ CE// AB $，交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $，构造相似三角形来证明 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $.
尝试证明：
(1) 请参照小慧提供的思路，利用图 2 证明：$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $；
应用拓展：
(2) 如图 3，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ D $ 是边 $ BC $ 上一点. 连接 $ AD $，将 $ △ ACD $ 沿 $ AD $ 所在直线折叠，点 $ C $ 恰好落在边 $ AB $ 上的 $ E $ 点处. 若 $ AC = 1 $，$ AB = 2 $，求 $ DE $ 的长.

12. (1) $\because CE// AB,\therefore △ CED∽ △ BAD,\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}.\because ∠ E=∠ EAB,∠ EAB=∠ CAD,\therefore ∠ E=∠ CAD,\therefore CE=CA,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$. (2) $\because$ 将 $△ ACD$ 沿 $AD$ 所在直线折叠，点 $C$ 恰好落在边 $AB$ 上的 $E$ 点处，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD,CD=DE$. 由 (1) 可知，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，又 $\because AC=1,AB=2,\therefore \frac{2}{1}=\frac{BD}{CD},\therefore BD=2CD.\because ∠ BAC=90^{\circ },\therefore BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5},\therefore BD+CD=\sqrt{5},\therefore 3CD=\sqrt{5},\therefore CD=\frac{\sqrt{5}}{3},\therefore DE=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(1) 证明：$\because CE // AB$，$\therefore △ CED ∽ △ BAD$，$\therefore \frac{CE}{AB} = \frac{CD}{BD}$。
$\because CE // AB$，$\therefore ∠ E = ∠ EAB$。
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠ EAB = ∠ CAD$，$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，$\therefore CE = AC$。
$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD}$，即 $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$。
(2) 解：$\because$ 将 $△ ACD$ 沿 $AD$ 折叠，点 $C$ 落在 $AB$ 上的 $E$ 点处，$\therefore ∠ CAD = ∠ BAD$，$CD = DE$。
由 (1) 知 $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$。
$\because AC = 1$，$AB = 2$，$\therefore \frac{2}{1} = \frac{BD}{CD}$，$\therefore BD = 2CD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$，$\therefore BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
$\because BD + CD = BC$，$\therefore 2CD + CD = \sqrt{5}$，$\therefore CD = \frac{\sqrt{5}}{3}$，$\therefore DE = CD = \frac{\sqrt{5}}{3}$。