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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$于点$D$，则图中相似三角形共有(
A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对
C
)A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对
答案
1. C
解析
在$△ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥AB$于点$D$。
$∠A=∠A$，$∠ADC=∠ACB=90^{\circ}$，故$△ACD∽△ABC$；
$∠B=∠B$，$∠BDC=∠ACB=90^{\circ}$，故$△BCD∽△BAC$；
$∠ACD + ∠BCD = 90^{\circ}$，$∠BCD + ∠B = 90^{\circ}$，则$∠ACD=∠B$，又$∠ADC=∠CDB=90^{\circ}$，故$△ACD∽△CBD$。
综上，相似三角形共有3对。
C
$∠A=∠A$，$∠ADC=∠ACB=90^{\circ}$，故$△ACD∽△ABC$；
$∠B=∠B$，$∠BDC=∠ACB=90^{\circ}$，故$△BCD∽△BAC$；
$∠ACD + ∠BCD = 90^{\circ}$，$∠BCD + ∠B = 90^{\circ}$，则$∠ACD=∠B$，又$∠ADC=∠CDB=90^{\circ}$，故$△ACD∽△CBD$。
综上，相似三角形共有3对。
C
2. 如图所示，图中共有相似三角形(
A.5 对
B.4 对
C.3 对
D.2 对
A
)A.5 对
B.4 对
C.3 对
D.2 对
答案
2. A
解析
证明：图中相似三角形有：
1. $ △ ADB ∼ △ AEC $（公共角$ ∠ A $，$ ∠ ADB = ∠ AEC $）；
2. $ △ DFB ∼ △ EFC $（对顶角$ ∠ DFB = ∠ EFC $，$ ∠ FDB = ∠ FEC $）；
3. $ △ AFD ∼ △ CFE $（$ ∠ AFD = ∠ CFE $，$ ∠ FAD = ∠ FCE $）；
4. $ △ AFB ∼ △ CFE $（$ ∠ AFB = ∠ CFE $，$ ∠ FAB = ∠ FCE $）；
5. $ △ AFD ∼ △ AFB $（公共角$ ∠ FAD $，$ ∠ AFD = ∠ AFB $）。
共有5对相似三角形。
A
1. $ △ ADB ∼ △ AEC $（公共角$ ∠ A $，$ ∠ ADB = ∠ AEC $）；
2. $ △ DFB ∼ △ EFC $（对顶角$ ∠ DFB = ∠ EFC $，$ ∠ FDB = ∠ FEC $）；
3. $ △ AFD ∼ △ CFE $（$ ∠ AFD = ∠ CFE $，$ ∠ FAD = ∠ FCE $）；
4. $ △ AFB ∼ △ CFE $（$ ∠ AFB = ∠ CFE $，$ ∠ FAB = ∠ FCE $）；
5. $ △ AFD ∼ △ AFB $（公共角$ ∠ FAD $，$ ∠ AFD = ∠ AFB $）。
共有5对相似三角形。
A
3. 已知两点$A(2,0)$，$B(0,4)$，且$∠ 1 = ∠ 2$，则点$C$的坐标为(
A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(1,0)$
D.$(0,1)$
]
D
)A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(1,0)$
D.$(0,1)$
]
答案
3. D
解析
解：设点$C$的坐标为$(0, c)$，其中$0 ＜ c ＜ 4$。
$\because A(2,0)$，$B(0,4)$，
$\therefore OA = 2$，$OB = 4$，$OC = c$，$BC = 4 - c$。
$\because ∠ 1 = ∠ 2$，$∠ AOB = ∠ AOC = 90°$，
$\therefore △ AOB ∼ △ COA$。
$\therefore \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OA}$，即$\frac{2}{c} = \frac{4}{2}$。
解得$c = 1$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,1)$。
D
$\because A(2,0)$，$B(0,4)$，
$\therefore OA = 2$，$OB = 4$，$OC = c$，$BC = 4 - c$。
$\because ∠ 1 = ∠ 2$，$∠ AOB = ∠ AOC = 90°$，
$\therefore △ AOB ∼ △ COA$。
$\therefore \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OA}$，即$\frac{2}{c} = \frac{4}{2}$。
解得$c = 1$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,1)$。
D
4. (2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 有一张矩形纸片$ABCD$如图所示，点$N$在边$AD$上，现将矩形折叠，折痕为$BN$，点$A$对应的点记为点$M$，若点$M$恰好落在边$DC$上，则图中与$△ NDM$一定相似的三角形是
]
△MCB
.]答案
4. △MCB
5. 如图，在矩形$ABCD$中，若$AB = 3$，$AC = 5$，$\frac{AF}{FC} = \frac{1}{4}$，则$AE$的长为
1
.答案
5. 1
解析
解：在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AC = 5$，$∠ ABC = 90°$，
$\therefore BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
$\because AD// BC$，$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，
$\therefore △ AFE∼△ CFB$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，
$\therefore AE=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}×4 = 1$。
1
$\therefore BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
$\because AD// BC$，$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，
$\therefore △ AFE∼△ CFB$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，
$\therefore AE=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}×4 = 1$。
1
6. (2023·湘潭)在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AD$是斜边$BC$上的高.
(1) 证明：$△ ABD∽△ CBA$；
(2) 若$AB = 6$，$BC = 10$，求$BD$的长.
]
(1) 证明：$△ ABD∽△ CBA$；
(2) 若$AB = 6$，$BC = 10$，求$BD$的长.
]答案
6. (1)
∵AD 是斜边 BC 上的高，
∴∠BDA = 90°，
∵∠BAC = 90°，
∴∠BDA = ∠BAC，又
∵∠B 为公共角，
∴△ABD∽△CBA；(2) 由(1)知△ABD∽△CBA，
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$，
∴BD = 3.6。
∵AD 是斜边 BC 上的高，
∴∠BDA = 90°，
∵∠BAC = 90°，
∴∠BDA = ∠BAC，又
∵∠B 为公共角，
∴△ABD∽△CBA；(2) 由(1)知△ABD∽△CBA，
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$，
∴BD = 3.6。
7. 如图，在$\odot O$中，直径$AB$与弦$CD$相交于点$E$，连接$AC$，$BD$.
(1) 求证：$△ AEC∽△ DEB$；
(2) 连接$AD$，若$AD = 3$，$∠ C = 30^{\circ}$，求$\odot O$的半径.
]
(1) 求证：$△ AEC∽△ DEB$；
(2) 连接$AD$，若$AD = 3$，$∠ C = 30^{\circ}$，求$\odot O$的半径.
]答案
7. (1)
∵∠C = ∠B，∠AEC = ∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；(2)
∵∠C = ∠B，∠C = 30°，
∴∠B = 30°，
∵AB 是⊙O 的直径，AD = 3，
∴∠ADB = 90°，
∴AB = 6，
∴⊙O 的半径为 3。
∵∠C = ∠B，∠AEC = ∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；(2)
∵∠C = ∠B，∠C = 30°，
∴∠B = 30°，
∵AB 是⊙O 的直径，AD = 3，
∴∠ADB = 90°，
∴AB = 6，
∴⊙O 的半径为 3。
