8. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$D$，$B$，$C$，$E$在同一条直线上，且$∠ D = ∠ CAE$.
(1) 求证：$△ ABD∽△ ECA$；
(2) 若$AC = 6$，$CE = 4$，求$BD$的长度.
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8. (1)
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABD = ∠ACE，
∵∠D = ∠CAE，
∴△ABD∽△ECA；(2)
∵AB = AC = 6，△ABD∽△ECA，
∴$\frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
∴BD = 9。

9. 如图，$AD$是$△ ABC$的高，$AE$是$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径，且$AB = 4\sqrt{2}$，$AC = 5$，$AD = 4$，则$\odot O$的直径$AE =$.

9. $5\sqrt{2}$

证明：连接$BE$。
因为$AE$是$\odot O$的直径，所以$∠ ABE = 90°$。
因为$AD$是$△ ABC$的高，所以$∠ ADC = 90°$，故$∠ ABE = ∠ ADC$。
因为$∠ AEB$和$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，所以$∠ AEB = ∠ ACB$。
在$△ ABE$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ ADC \\∠ AEB = ∠ ACB\end{cases}$
所以$△ ABE ∼ △ ADC$。
所以$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AE}{AC}$。
已知$AB = 4\sqrt{2}$，$AC = 5$，$AD = 4$，则
$\dfrac{4\sqrt{2}}{4} = \dfrac{AE}{5}$
解得$AE = 5\sqrt{2}$。
$5\sqrt{2}$

10. (2024·无锡)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$△ ACD$内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DB}$，$AB$，$CD$的延长线相交于点$E$，且$DE = AD$.
(1) 求证：$△ CAD∽△ CEA$；
(2) 求$∠ ADC$的度数.
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10. (1)
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠CAD = ∠DAB，
∵DE = AD，
∴∠DAB = ∠E，
∴∠CAD = ∠E，又
∵∠C = ∠C，
∴△CAD∽△CEA；(2) 连接 BD，如图：
∵AB 为直径，
∴∠ADB = 90°，设∠CAD = ∠DAB = α，
∴∠CAE = 2α，由(1)知△CAD∽△CEA，
∴∠ADC = ∠CAE = 2α，
∵四边形 ABDC 是圆的内接四边形，
∴∠CAB + ∠CDB = 180°，即 2α + 2α + 90° = 180°，解得α = 22.5°，∠ADC = ∠CAE = 2×22.5° = 45°。

11. 如图，$AB⊥ BC$，$DC⊥ BC$，$E$是$BC$上一点，使得$AE⊥ DE$；
(1) 求证：$△ ABE∽△ ECD$；
(2) 若$AB = 4$，$AE = BC = 5$，求$CD$的长；
(3) 当$△ AED∽△ ECD$时，请写出线段$AD$，$AB$，$CD$之间数量关系，并说明理由.
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11. (1)
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B = ∠C = 90°，∠BAE + ∠AEB = 90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED = 90°，
∴∠AEB + ∠DEC = 90°，
∴∠DEC = ∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；(2) Rt△ABE 中，
∵AB = 4，AE = 5，
∴BE = 3，
∵BC = 5，
∴EC = 5 - 3 = 2，由(1)得△ABE∽△ECD，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{EC}{CD}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{2}{CD}$，
∴CD = $\frac{3}{2}$；(3) 线段 AD、AB、CD 之间数量关系：AD = AB + CD；理由是：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD = ∠DEC，
∵∠AED = ∠C，
∴∠ADE = ∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF = EC，
∵DE = DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL)，
∴DF = DC，同理可得△ABE≌△AFE，
∴AF = AB，
∴AD = AF + DF = AB + CD。