6. 某宾馆有50个房间,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间的定价每增加10元时,就会有1个房间闲置.旅客住宿期间,宾馆每天每间需支出20元的各种费用.房价定为多少元时,宾馆的利润为最大?
答案
解：设每个房间的定价增加10x元（x为非负整数），宾馆每天的利润为y元。
实际入住房间数为$(50 - x)$间，每个房间的利润为$(180 + 10x - 20)$元。
根据题意，得：
$y = (50 - x)(180 + 10x - 20)$
化简得：
$y = -10x^2 + 340x + 8000$
因为$a = -10 ＜ 0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{340}{2×(-10)} = 17$时，$y$取得最大值。
此时房价为$180 + 10×17 = 350$（元）。
答：房价定为350元时，宾馆的利润为最大。
实际入住房间数为$(50 - x)$间，每个房间的利润为$(180 + 10x - 20)$元。
根据题意，得：
$y = (50 - x)(180 + 10x - 20)$
化简得：
$y = -10x^2 + 340x + 8000$
因为$a = -10 ＜ 0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{340}{2×(-10)} = 17$时，$y$取得最大值。
此时房价为$180 + 10×17 = 350$（元）。
答：房价定为350元时，宾馆的利润为最大。
7. 某批发商以每件50元的价格购进衬衫800件.第一个月以单价80元销售,售出了300件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出300件.批发商为增加销售量,决定降价销售.根据市场调查,单价每降低1元,可多售出15件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的衬衫进行一次性清仓销售,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.
(1)填表(不需化简):
(2)设批发商销售这批衬衫获得的总利润为y元,试求出y与x之间的函数表达式;
(3)当第二个月的销售单价为多少元时,才能获得最大利润?
(1)填表(不需化简):
(2)设批发商销售这批衬衫获得的总利润为y元,试求出y与x之间的函数表达式;
(3)当第二个月的销售单价为多少元时,才能获得最大利润?
答案
解：
(1)
| 时间 | 第一个月 | 第二个月 | 清仓时 |
|--------|----------|----------------|----------------------|
| 单价/元 | 80 | $\boldsymbol{80 - x}$ | 40 |
| 销售量/件 | 300 | $\boldsymbol{300 + 15x}$ | $\boldsymbol{800 - 300 - (300 + 15x)}$ |
(2)
$\begin{aligned}y&=(80-50)×300 + (80-x-50)(300+15x) + (40-50)[800-300-(300+15x)]\\&=30×300 + (30-x)(300+15x) -10(200-15x)\\&=9000 + 9000 + 450x - 300x -15x^2 -2000 + 150x\\&=-15x^2 + 300x + 16000\end{aligned}$
由题意得：$\begin{cases}80 - x ＞ 50 \\ 800 - 300 - (300 + 15x) ≥ 0\end{cases}$，解得$0≤ x＜\frac{40}{3}$，
即$y=-15x^2 + 300x + 16000(0≤ x＜\frac{40}{3})$。
(3)
$\because a=-15＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2×(-15)}=10$，
$\because 10＜\frac{40}{3}$，在自变量取值范围内，
$\therefore$ 当$x=10$时，$y$有最大值，
此时第二个月的销售单价为$80-10=70$（元）。
答：(2) $y$与$x$的函数表达式为$y=-15x^2 + 300x + 16000(0≤ x＜\frac{40}{3})$；
(3) 当第二个月的销售单价为70元时，能获得最大利润。
(1)
| 时间 | 第一个月 | 第二个月 | 清仓时 |
|--------|----------|----------------|----------------------|
| 单价/元 | 80 | $\boldsymbol{80 - x}$ | 40 |
| 销售量/件 | 300 | $\boldsymbol{300 + 15x}$ | $\boldsymbol{800 - 300 - (300 + 15x)}$ |
(2)
$\begin{aligned}y&=(80-50)×300 + (80-x-50)(300+15x) + (40-50)[800-300-(300+15x)]\\&=30×300 + (30-x)(300+15x) -10(200-15x)\\&=9000 + 9000 + 450x - 300x -15x^2 -2000 + 150x\\&=-15x^2 + 300x + 16000\end{aligned}$
由题意得：$\begin{cases}80 - x ＞ 50 \\ 800 - 300 - (300 + 15x) ≥ 0\end{cases}$，解得$0≤ x＜\frac{40}{3}$，
即$y=-15x^2 + 300x + 16000(0≤ x＜\frac{40}{3})$。
(3)
$\because a=-15＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2×(-15)}=10$，
$\because 10＜\frac{40}{3}$，在自变量取值范围内，
$\therefore$ 当$x=10$时，$y$有最大值，
此时第二个月的销售单价为$80-10=70$（元）。
答：(2) $y$与$x$的函数表达式为$y=-15x^2 + 300x + 16000(0≤ x＜\frac{40}{3})$；
(3) 当第二个月的销售单价为70元时，能获得最大利润。
如图5-12,工厂大门的上部是一段抛物线,抛物线的顶点离地面的高度是3.8 m.一辆装满货物的卡车宽为1.6 m,高为2.6 m.要求卡车的上端与门的距离不小于0.2 m,这辆卡车能否通过工厂大门?
答案
解：
以大门底部所在直线为x轴，底部中点为原点，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
由题意知，抛物线顶点坐标为$(0, 3.8)$，设抛物线解析式为$y = ax^2 + 3.8$。
将点$(1, 2.3)$代入解析式得：
$2.3 = a × 1^2 + 3.8$
解得$a = -1.5$，
故抛物线解析式为$y = -1.5x^2 + 3.8$。
当卡车宽1.6m时，对应$x = 0.8$，代入解析式：
$y = -1.5 × 0.8^2 + 3.8 = -1.5 × 0.64 + 3.8 = 2.84$。
卡车所需安全高度为$2.6 + 0.2 = 2.8(m)$，
因为$2.84 ＞ 2.8$，
所以这辆卡车能通过工厂大门。
以大门底部所在直线为x轴，底部中点为原点，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
由题意知，抛物线顶点坐标为$(0, 3.8)$，设抛物线解析式为$y = ax^2 + 3.8$。
将点$(1, 2.3)$代入解析式得：
$2.3 = a × 1^2 + 3.8$
解得$a = -1.5$，
故抛物线解析式为$y = -1.5x^2 + 3.8$。
当卡车宽1.6m时，对应$x = 0.8$，代入解析式：
$y = -1.5 × 0.8^2 + 3.8 = -1.5 × 0.64 + 3.8 = 2.84$。
卡车所需安全高度为$2.6 + 0.2 = 2.8(m)$，
因为$2.84 ＞ 2.8$，
所以这辆卡车能通过工厂大门。
