(1)某人乘雪橇沿如图所示的斜坡滑下,滑下的距离y(m)与时间t(s)之间的函数表达式为$y=10t+t^{2}$,已知滑到坡底的时间为2 s,则此人下滑的高度为().
A.24 m
B.12 m
C.$12\sqrt{3}$ m
D.6 m
A.24 m
B.12 m
C.$12\sqrt{3}$ m
D.6 m
答案
B
解析
1. 将$ t=2 \, \mathrm{s} $代入函数表达式$ y=10t+t^2 $，计算下滑的距离：
$ y=10×2 + 2^2=24 \, \mathrm{m} $。
2. 已知斜坡倾斜角为$ 30° $，在直角三角形中，下滑高度为下滑距离的一半：
$ 24×\frac{1}{2}=12 \, \mathrm{m} $。
$ y=10×2 + 2^2=24 \, \mathrm{m} $。
2. 已知斜坡倾斜角为$ 30° $，在直角三角形中，下滑高度为下滑距离的一半：
$ 24×\frac{1}{2}=12 \, \mathrm{m} $。
(2)在一次投篮中,球的运动路线是如图所示的函数$y=-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$的图像的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮圈中心的水平距离l是().
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.4.6 m
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.4.6 m
答案
C
解析
将篮圈中心的纵坐标$y=3.05$代入函数$y=-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$，得：
$3.05=-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$，
移项计算得：$\frac{1}{5}x^{2}=3.5-3.05=0.45$，
$x^{2}=2.25$，解得$x=1.5$（舍去负根）。
结合图像，投篮者对应$x=-3$，因此水平距离$l=1.5-(-3)=4.5$（m）。
$3.05=-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$，
移项计算得：$\frac{1}{5}x^{2}=3.5-3.05=0.45$，
$x^{2}=2.25$，解得$x=1.5$（舍去负根）。
结合图像，投篮者对应$x=-3$，因此水平距离$l=1.5-(-3)=4.5$（m）。
2. 一门迫击炮发射一发炮弹,炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)之间的函数表达式是$y=-\frac{1}{5}x^{2}+10x$.经过多少时间,这发炮弹落在地面上爆炸?
答案
解：
令$ y = 0 $，则
$ -\frac{1}{5}x^{2} + 10x = 0 $
提取公因式得：
$ x(-\frac{1}{5}x + 10) = 0 $
解得$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 50 $。
其中$ x = 0 $是炮弹发射时刻，不符合题意，舍去。
答：经过50s，这发炮弹落在地面上爆炸。
令$ y = 0 $，则
$ -\frac{1}{5}x^{2} + 10x = 0 $
提取公因式得：
$ x(-\frac{1}{5}x + 10) = 0 $
解得$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 50 $。
其中$ x = 0 $是炮弹发射时刻，不符合题意，舍去。
答：经过50s，这发炮弹落在地面上爆炸。
3. 一架飞机着陆后滑行的距离s(m)与滑行的时间t(s)之间的函数表达式是$s=60t-1.5t^{2}$.这架飞机着陆后滑行多少时间才能停下来?
答案
解：
将函数表达式整理为：
$s=-1.5t^{2}+60t$
其中$a=-1.5$，$b=60$，
当飞机停下来时，滑行距离达到最大，对应二次函数的顶点横坐标，
则$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-1.5)}=20$
答：这架飞机着陆后滑行20s才能停下来。
将函数表达式整理为：
$s=-1.5t^{2}+60t$
其中$a=-1.5$，$b=60$，
当飞机停下来时，滑行距离达到最大，对应二次函数的顶点横坐标，
则$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-1.5)}=20$
答：这架飞机着陆后滑行20s才能停下来。
4. 某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,商场决定适当降价.经过调查发现,如果每件衬衫每降价1元,那么商场平均每天可多售出2件.每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利为最多?
答案
解：设每件衬衫降价$ x $元，商场平均每天赢利为$ y $元。
根据题意，得：
$ y=(40 - x)(20 + 2x) $
展开并整理：
$ y=-2x^2 + 60x + 800 $
配方得：
$ y=-2(x^2 - 30x) + 800 $
$ y=-2(x - 15)^2 + 1250 $
因为$ -2 ＜ 0 $，所以当$ x=15 $时，$ y $取得最大值$ 1250 $。
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利为最多。
根据题意，得：
$ y=(40 - x)(20 + 2x) $
展开并整理：
$ y=-2x^2 + 60x + 800 $
配方得：
$ y=-2(x^2 - 30x) + 800 $
$ y=-2(x - 15)^2 + 1250 $
因为$ -2 ＜ 0 $，所以当$ x=15 $时，$ y $取得最大值$ 1250 $。
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利为最多。
5. 某纪念品商店以4元的批发价购进一批帽子,再以10元的标价出售,可售出100顶.若提价1元,销售量就减少10顶.售价是多少时,商店能获得最大利润?最大利润是多少?
答案
解：设售价为x元，商店获得的利润为y元。
销售量为：$100 - 10(x - 10) = 200 - 10x$
利润函数为：
$y = (x - 4)(200 - 10x)$
展开并整理：
$y = -10x^2 + 240x - 800$
配方得：
$y = -10(x - 12)^2 + 640$
$\because -10 ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = 12$时，$y$有最大值640。
答：售价是12元时，商店能获得最大利润，最大利润是640元。
销售量为：$100 - 10(x - 10) = 200 - 10x$
利润函数为：
$y = (x - 4)(200 - 10x)$
展开并整理：
$y = -10x^2 + 240x - 800$
配方得：
$y = -10(x - 12)^2 + 640$
$\because -10 ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = 12$时，$y$有最大值640。
答：售价是12元时，商店能获得最大利润，最大利润是640元。
