某果园有100棵橙子树,每棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但树与树之间的距离减小导致每棵树接收的阳光减少,产橙量就会减少;据估计,每多种1棵树,每棵树就会少结5个橙子.多种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60 420个以上?
答案
解：设多种$ x $棵橙子树，橙子的总产量为$ y $个。
根据题意，得：
$ y = (100 + x)(600 - 5x) $
整理得：
$ y = -5x^2 + 100x + 60000 $
要使总产量在60420个以上，则：
$ -5x^2 + 100x + 60000 ＞ 60420 $
移项、整理得：
$ x^2 - 20x + 84 ＜ 0 $
因式分解得：
$ (x - 6)(x - 14) ＜ 0 $
解得：$ 6 ＜ x ＜ 14 $
因为$ x $为正整数，所以$ x $可取7、8、9、10、11、12、13。
答：多种7棵到13棵橙子树（包含7棵和13棵），可以使橙子的总产量在60420个以上。
根据题意，得：
$ y = (100 + x)(600 - 5x) $
整理得：
$ y = -5x^2 + 100x + 60000 $
要使总产量在60420个以上，则：
$ -5x^2 + 100x + 60000 ＞ 60420 $
移项、整理得：
$ x^2 - 20x + 84 ＜ 0 $
因式分解得：
$ (x - 6)(x - 14) ＜ 0 $
解得：$ 6 ＜ x ＜ 14 $
因为$ x $为正整数，所以$ x $可取7、8、9、10、11、12、13。
答：多种7棵到13棵橙子树（包含7棵和13棵），可以使橙子的总产量在60420个以上。
例1 某商品的售价为60元/件,每星期可卖出300件.经过市场调查发现,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
分析 调整价格包括涨价和降价两种情况.
解 (1)在涨价的情况下,设每件涨价x元,则每星期卖出商品的利润y元随之变化.
$y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),$
即$y=-10x^{2}+100x+6\ 000=-10(x-5)^{2}+6\ 250.$
其中,$0≤ x≤30.$
显然,当$x=5$时,即定价为65元,y最大,即利润最大,最大利润是6 250元.
(2)在降价的情况下,最大利润是多少? 请参考第(1)小题的讨论自己得出答案.
分析 调整价格包括涨价和降价两种情况.
解 (1)在涨价的情况下,设每件涨价x元,则每星期卖出商品的利润y元随之变化.
$y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),$
即$y=-10x^{2}+100x+6\ 000=-10(x-5)^{2}+6\ 250.$
其中,$0≤ x≤30.$
显然,当$x=5$时,即定价为65元,y最大,即利润最大,最大利润是6 250元.
(2)在降价的情况下,最大利润是多少? 请参考第(1)小题的讨论自己得出答案.
答案
解：(1)在涨价的情况下，设每件涨价$ x $元，每星期卖出商品的利润为$ y $元。
$ y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) $
即$ y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250 $
其中，$ 0≤ x≤30 $。
当$ x=5 $时，即定价为$ 60+5=65 $元，$ y $最大，最大利润是6250元。
(2)在降价的情况下，设每件降价$ x $元，每星期卖出商品的利润为$ y $元。
$ y=(60-x)(300+18x)-40(300+18x) $
即$ y=(20-x)(300+18x)=-18x^2+60x+6000=-18(x-\frac{5}{3})^2+6050 $
其中，$ 0≤ x≤20 $。
当$ x=\frac{5}{3} $时，即定价为$ 60-\frac{5}{3}=\frac{175}{3} $元，$ y $最大，最大利润是6050元。
因为$ 6250＞6050 $，
答：定价为65元时才能使利润最大，最大利润为6250元。
$ y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) $
即$ y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250 $
其中，$ 0≤ x≤30 $。
当$ x=5 $时，即定价为$ 60+5=65 $元，$ y $最大，最大利润是6250元。
(2)在降价的情况下，设每件降价$ x $元，每星期卖出商品的利润为$ y $元。
$ y=(60-x)(300+18x)-40(300+18x) $
即$ y=(20-x)(300+18x)=-18x^2+60x+6000=-18(x-\frac{5}{3})^2+6050 $
其中，$ 0≤ x≤20 $。
当$ x=\frac{5}{3} $时，即定价为$ 60-\frac{5}{3}=\frac{175}{3} $元，$ y $最大，最大利润是6050元。
因为$ 6250＞6050 $，
答：定价为65元时才能使利润最大，最大利润为6250元。
例2 一位运动员推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式是$y=-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$. 此运动员能把铅球推出多远?
分析 观察图5-11的函数图像,此运动员把铅球推出的距离是$y=0$时的一个正数解.
解 如图5-11,铅球落在x轴上,则$y=0$.
解这个方程,得$x_{1}=10,x_{2}=-2$(不合题意,舍去).
所以此运动员能把铅球推出10 m.
分析 观察图5-11的函数图像,此运动员把铅球推出的距离是$y=0$时的一个正数解.
解 如图5-11,铅球落在x轴上,则$y=0$.
解这个方程,得$x_{1}=10,x_{2}=-2$(不合题意,舍去).
所以此运动员能把铅球推出10 m.
答案
解：
当铅球落地时，行进高度$ y=0 $，代入函数表达式：
$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+2)=0$
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=-2 $
因为水平距离不能为负数，故舍去$ x_2=-2 $。
答：此运动员能把铅球推出10 m。
当铅球落地时，行进高度$ y=0 $，代入函数表达式：
$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+2)=0$
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=-2 $
因为水平距离不能为负数，故舍去$ x_2=-2 $。
答：此运动员能把铅球推出10 m。
