例1 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端装有一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处距离水池中心3 m.水管应该有多高?
解 建立如图5-13所示的平面直角坐标系,点(1, 3)是图中这段抛物线的顶点,
因此可设这段抛物线相应的函数表达式 $y=a(x-1)^2+3(0≤ x≤3)$.
由这段抛物线经过点(3, 0),得 $0=a(3-1)^2+3$.
解得 $a=-\dfrac{3}{4}$.
因此 $y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3(0≤ x≤3)$.
当$x=0$时,$y=2.25$,即水管应该有2.25 m高.

解：建立如图所示的平面直角坐标系，点$(1, 3)$是这段抛物线的顶点，
设这段抛物线相应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+3(0≤ x≤3)$。
因为抛物线经过点$(3, 0)$，代入得：
$0=a(3-1)^2+3$，
解得$a=-\dfrac{3}{4}$，
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3(0≤ x≤3)$。
当$x=0$时，$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1)^2+3=2.25$。
答：水管应该有2.25 m高。

例2 图5-14是一座古拱桥的截面,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.
(1) 求抛物线相应的函数表达式;
(2) 求两盏景观灯之间的水平距离.
分析 这是一个运用二次函数的有关知识解决实际问题的应用题,一般先求出抛物线相应的函数表达式,再利用抛物线的性质解决问题.
解 (1) 抛物线的顶点坐标是(5, 5),与y轴的交点坐标是(0, 1).
设抛物线相应的函数表达式是 $y=a(x-5)^2+5$.
把(0, 1)代入 $y=a(x-5)^2+5$,得 $a=-\dfrac{4}{25}$.
$\therefore y=-\dfrac{4}{25}(x-5)^2+5(0≤ x≤10)$.

(2) 由已知,得两盏景观灯的纵坐标都是4,
$\therefore 4=-\dfrac{4}{25}(x-5)^2+5$.
$\therefore \dfrac{4}{25}(x-5)^2=1$.
$\therefore x_1=\dfrac{15}{2},x_2=\dfrac{5}{2}$.
$\therefore x_1-x_2=5$.
$\therefore$ 两盏景观灯之间的水平距离为5 m.

解：
(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为$(5, 5)$，且过点$(0, 1)$。
设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+5$。
将$(0, 1)$代入$y=a(x-5)^2+5$，得：
$1=a(0-5)^2+5$
解得$a=-\dfrac{4}{25}$
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{25}(x-5)^2+5(0≤ x≤10)$。
(2) 已知景观灯距离水面4 m，即纵坐标为4，代入函数表达式：
$4=-\dfrac{4}{25}(x-5)^2+5$
移项整理得：$\dfrac{4}{25}(x-5)^2=1$
两边同时乘以$\dfrac{25}{4}$得：$(x-5)^2=\dfrac{25}{4}$
开方得：$x-5=\pm\dfrac{5}{2}$
解得$x_1=\dfrac{15}{2}$，$x_2=\dfrac{5}{2}$
两盏景观灯之间的水平距离为$x_1-x_2=\dfrac{15}{2}-\dfrac{5}{2}=5$（m）
答：(1) 抛物线相应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{25}(x-5)^2+5(0≤ x≤10)}$；
(2) 两盏景观灯之间的水平距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。