6. 已知 $△ ABC$ 中，$AB = AC$, $CD ⊥ AB$ 于点 $D$，若 $AB = 10$, $CD = 6$，求 $BC$ 的长.

7. (2024·南通)
“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为 $m, n$ ($m ＞ n$). 若小正方形面积为 5，$(m + n)^2 = 21$，则大正方形面积为()


A.12
B.13
C.14
D.15

7. B

1. 勾股定理：
.

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

2. 在$Rt△ ABC$中，已知$∠ C = 90°$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$.
(1) 若$c = 10$，$a = 6$，求$b$的值.
(2) 若$c = 41$，$b = 40$，求斜边$c$上的高$h$的长度.
(3) 若$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 200$，求$c$的值.

(1)
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$c = 10$，$a = 6$，则$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
(2)
先根据勾股定理求另一条直角边，在$Rt△ ABC$中，$c = 41$，$b = 40$，则$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{41^{2}-40^{2}}=\sqrt{(41 + 40)(41 - 40)}=\sqrt{81}=9$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，可得$h=\frac{ab}{c}=\frac{9×40}{41}=\frac{360}{41}$。
(3)
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=200$，把$a^{2}+b^{2}=c^{2}$代入$a^{2}+b^{2}+c^{2}=200$中，得$c^{2}+c^{2}=200$，即$2c^{2}=200$，$c^{2}=100$，因为$c$为斜边，$c＞0$，所以$c = 10$。
综上，答案依次为：(1)$b = 8$；(2)$h=\frac{360}{41}$；(3)$c = 10$。