2.如图,在平行四边形ABCD中,连接
BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形.
(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF 的面积S.

注意:要判定一个四边形是矩形,通常先判定它是平行四边形,再根据平行四边形构成矩形的条件,即有一个角是直角或者对角
线相等来判定.

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AB//DF，
∴∠ABE=∠DFE。
∵E为AD中点，
∴AE=DE。
在△ABE和△DFE中，
∠ABE=∠DFE，∠AEB=∠DEF，AE=DE，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴AB=DF。
∵AB//DF且AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形。
∵∠BDF=90°，
∴平行四边形ABDF是矩形。
(2)解：
∵四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD=90°，AF=BD，DF=AB=3。
在Rt△AFD中，AD=5，DF=3，
∴AF=√(AD²-DF²)=√(5²-3²)=4，
∴BD=AF=4。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6。
∵AB//CF，BD⊥CF（∠BDF=90°），
∴S四边形ABCF=S梯形ABCF=(AB+CF)·BD/2=(3+6)×4/2=18。

如图,平行四边形ABCD的四个内角的
平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD（平行四边形对边平行），
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∠BCD+∠CDA=180°，∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AF平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠FAB=1/2∠DAB，∠FBA=1/2∠ABC（角平分线定义），
∴∠FAB+∠FBA=1/2(∠DAB+∠ABC)=1/2×180°=90°，
在△AFB中，∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=180°-90°=90°，即∠EFG=90°（对顶角相等）．
同理，BE平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∠EBC=1/2∠ABC，∠ECB=1/2∠BCD，
∠EBC+∠ECB=1/2(∠ABC+∠BCD)=90°，
在△BEC中，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=90°，即∠HEF=90°．
同理可证：∠GHE=90°，∠FGH=90°．
∵四边形EFGH的四个内角均为90°，
∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

1.活动课上,小明用
四根细木条搭成如图所示

的四边形,现要判断这个
四边形是否为矩形,以下
测量方案正确的是()

A.测量两组对边是否分别相等
B.测量两组对边是否分别平行
C.测量是否有三个角是直角
D.测量对角线是否互相垂直

1. C

2.若在▱ABCD中,增加一个条件就成
了矩形,则增加的条件是()

A.AD=CD
B.∠A+∠C=180°
C.AC=2AB
D.对角线互相垂直

2. B

3.如图，在四边形ABCD中，对角线
AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边
AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则
四边形EFGH的面积为()

A.48
B.24
C.32
D.12

3. D