1.（新考向·传统文化）(2024·启东期中)《九章算术》的勾股章中有一个问题:现有一个竖立着的木柱,在木柱顶端系有绳索,绳索从木柱顶端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱底部8尺处时绳索用尽,问:绳索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程为
（ ）
A. $8^{2}+x^{2}=(x-3)^{2}$
B. $8^{2}+(x+3)^{2}=x^{2}$
C. $8^{2}+(x-3)^{2}=x^{2}$
D. $x^{2}+(x-3)^{2}=8^{2}$

C

2. 如图,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40 m,边BC的长为25 m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200 m²,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是 ( )
A. $(40-3x)(25-2x)=200$
B. $(40-4x)(25-2x)=200×3$
C. $40×25-80x-100x+8x²=200$
D. $40×25-80x-100x=200×3$

B

3. 如图,在宽为 20 m、长为 38 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为 $540\\ \mathrm{m}^2$,求道路的宽. 设道路的宽为 $x\\ \mathrm{m}$. 根据题意,所列方程正确的是 ( )
A. $(20-x)(38-x)=540$
B. $(20-x)(38-x)=38 \× 20 - 540$
C. $(20-2x)(38-2x)=540$
D. $(20-2x)(38-2x)=38 \× 20 - 540$

A

4. (教材 P21 习题 21.3 第 3 题变式)一个直角三角形的两条直角边的长相差 3 cm，面积是 9 cm²，则较长的直角边的长为$ \underline{\qquad} cm.$

6

5. (教材 P20 探究 3 变式)(2024·青岛)如图,某小区要在长为 16 m、宽为 12 m 的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为________ m.

2

6. (2023·东营)如图,李叔叔想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1) 当羊圈的边AD,AB的长分别为多少米时,能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.

第6题

解：（1）设矩形$ABCD$的边$AB = x$m，则边$AD = 70 - 2x + 2=(72 - 2x)$m. 根据题意，得$x(72 - 2x)=640.$ 整理，得$x^{2}-36x + 320 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1，$$b = -36，$$c = 320，$ 由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得： $x=\frac{36\pm\sqrt{(-36)^{2}-4\times1\times320}}{2\times1}=\frac{36\pm\sqrt{1296 - 1280}}{2}=\frac{36\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{36\pm4}{2}，$ 解得$x_{1}=\frac{36 + 4}{2}=20，$$x_{2}=\frac{36 - 4}{2}=16.$ 当$x = 16$时，$72 - 2x = 72-2\times16 = 40；$ 当$x = 20$时，$72 - 2x = 72-2\times20 = 32.$ 所以当羊圈的边$AD$的长为$40$m、边$AB$的长为$16$m或边$AD$的长为$32$m、边$AB$的长为$20$m时，能围成一个面积为$640$m²的羊圈. （2）不能.
理由：由题意，得$x(72 - 2x)=650.$ 整理，得$x^{2}-36x + 325 = 0.$ 因为$\Delta =(-36)^{2}-4\times325=1296 - 1300=-4\lt0，$ 所以一元二次方程无实数根，羊圈的面积不能达到$650$m².