【知识点1】直角三角形全等的判定——HL
◎斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形（可以简写成“斜边、直角边”或“”）.

全等 HL

【分析】
这道题考查直角三角形全等的HL判定定理的基础概念，解题时只需回忆HL判定定理的具体定义内容，直接对应填空即可。我们先明确HL定理的核心表述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形的全等关系，以及它的简写形式，就能快速得到答案。
【解析】
根据直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理的原文内容：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等，该判定定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”，因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
全等；HL
【知识点】
直角三角形全等的HL判定
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查教材中HL判定定理的原文内容，熟练掌握教材基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.95

1. 如图14.2-18，∠B=∠C=90°，AB=AC，则△ABD≌△ACD的依据是（）

A.SAS
B.AAS
C.ASA
D.HL

1. D

【分析】
解题时首先观察两个三角形的内角特征，已知∠B和∠C均为90°，可先确定△ABD和△ACD都是直角三角形；接下来寻找两个三角形对应相等的边：题目已知AB=AC，同时AD是两个三角形共有的斜边，结合直角三角形特有的全等判定定理，即可确定全等依据。
【解析】
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
HL判定定理，直角三角形的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定，需先确认三角形为直角三角形后再匹配对应判定条件。
【难度系数】
0.8

2. 如图14.2-19，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点D，若根据 “HL” 判定$△ ABD ≌ △ ACD$，还需添加条件（）

A.$AB=AC$
B.$CD=BD$
C.$∠ BAD=∠ CAD$
D.$∠ C=∠ B$



图14.2-18
图14.2-19
图14.2-20

2. A

【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求是用“HL”判定△ABD≌△ACD，首先回忆HL定理的适用条件：HL是仅用于直角三角形的全等判定定理，内容是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。首先整理已知条件：已知AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，且两个三角形有公共直角边AD=AD。此时要满足HL判定，已经有一组直角边相等，还需要补充斜边对应相等的条件，也就是两个三角形的斜边AB和AC相等，同时可逐一排除其他选项：B选项BD=CD是用SAS判定全等，C选项∠BAD=∠CAD是用ASA判定全等，D选项∠B=∠C是用AAS判定全等，都不符合HL的要求。
【解析】
解：
∵ AD⊥BC
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD均为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ACD中，已有公共直角边AD=AD
若添加条件AB=AC，则满足：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AD\end{array} $
根据HL定理，可判定Rt△ABD≌Rt△ACD
其余选项均不符合HL判定的要求：
添加B选项BD=CD，可通过SAS判定全等；
添加C选项∠BAD=∠CAD，可通过ASA判定全等；
添加D选项∠B=∠C，可通过AAS判定全等。
因此符合要求的条件是AB=AC。
【答案】
A
【知识点】
HL全等判定；全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，要区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆普通三角形和直角三角形的全等判定方法。
【难度系数】
0.8

3. 如图14.2-20，在$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$BC$上截取$CD=CA$，过点$D$作$DE⊥ BC$交$AB$于点$E$，则有（ ）

A.$DE=DB$
B.$DE=AE$
C.$AE=BE$
D.$AE=BD$

B

【分析】要判断选项中的线段相等关系，可通过证明三角形全等推导。首先观察图形特征，已知存在直角三角形、等边$CD=CA$，还有公共边$CE$，优先考虑构造并证明包含待证线段的两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得出结论。
【解析】连接$CE$，
$\because DE⊥ BC$，$\therefore ∠ CDE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ A=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ CDE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CAE$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中：
$\begin{cases}CA=CD\\CE=CE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CAE≌ \mathrm{Rt}△ CDE\mathrm{(HL)}$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AE=DE$，故B选项正确。
其余选项均无足够条件证明，均排除。
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】本题核心是利用直角三角形全等的判定定理推导线段相等关系，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握HL判定定理是解决此类题的基础。
【难度系数】0.7

1. 如图14.2-21，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$是$AC$上一点，$DE ⊥ AB$于点$E$，$BE=BC$，连接$BD$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，则$AD+DE$等于（）

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm

1. C

【分析】
首先观察图形，已知∠C和∠DEB均为直角，且有公共边BD、BE=BC，可先证明Rt△BCD和Rt△BED全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转换为CD，此时AD+DE就可转化为AD+CD，也就是AC的长度，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEB=90°，即△BCD和△BED均为直角三角形。
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\quad (\mathrm{公共边})\\BC=BE\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC，
∵AC=8cm，
∴AD+DE=8cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是通过证明全等实现线段的等量转换，将所求的两条线段之和转化为已知长度的线段，是全等三角形应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 如图14.2-22，AB=EF，BC⊥AE于点C，FD⊥AE于点D，CE=DA。
求证：AB//EF。
图14.2-21

图14.2-22

2. 证明：
∵CE=DA，
∴AC=ED.
∵BC⊥AE于点C，FD⊥AE于点D，
∴在Rt△ABC与Rt△EFD中，$\begin{cases} AB=EF, \\ AC=ED, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL），
∴∠A=∠E，
∴AB//EF.

【分析】
要证明$AB// EF$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ A=∠ E$即可。观察图形可知$∠ A$和$∠ E$分别在$Rt△ ABC$和$Rt△ EFD$中，因此只需证明这两个直角三角形全等。已知$CE=DA$，根据等式性质，两边同时加公共线段$CD$即可得到$AC=ED$，结合已知条件$AB=EF$，两个三角形均为直角三角形，可用HL定理证明两三角形全等，得到对应角相等后即可推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because CE=DA$，
$\therefore CE+CD=DA+CD$，即$AC=ED$。
$\because BC⊥ AE$于点$C$，$FD⊥ AE$于点$D$，
$\therefore ∠ ACB=∠ EDF=90°$，
在$Rt△ ABC$与$Rt△ EFD$中，
$\begin{cases} AB=EF, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ EFD$（HL），
$\therefore ∠ A=∠ E$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// EF$。
【答案】
证明：
$\because CE=DA$，
$\therefore AC=ED.$
$\because BC⊥ AE$于点$C$，$FD⊥ AE$于点$D$，
$\therefore$在$Rt△ ABC$与$Rt△ EFD$中，$\begin{cases} AB=EF, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ EFD$（HL），
$\therefore ∠ A=∠ E$，
$\therefore AB// EF.$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过线段和差关系得到全等所需的对应边相等，再利用直角三角形全等的判定得到对应角相等，最终推导两直线平行，能够很好地锻炼几何逻辑推导的条理性。
【难度系数】
0.8