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5. 如图，$∠ AOB=90°$，点$E$在$∠ AOB$内部.
(1) 尺规作图：在$OA$边的下方作$∠ AOF$，使得$∠ AOF=∠ BOE$.
(2) 在 (1) 的条件下，求$∠ BOF$与$∠ EOA$的数量关系.
(1) 尺规作图：在$OA$边的下方作$∠ AOF$，使得$∠ AOF=∠ BOE$.
(2) 在 (1) 的条件下，求$∠ BOF$与$∠ EOA$的数量关系.
答案
5. 解：(1) 如图，∠AOF 即为所求.
(2) 结论：∠BOF+∠AOE=180°.
理由：
∵∠AOF=∠BOE,
∴∠AOB=∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+∠EOF=90°+90°=180°.
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，解题思路是回忆“作一个角等于已知角”的基本操作步骤，以O为顶点，OA为其中一边，在OA下方作出与∠BOE大小相等的角即可。
(2) 第二问探究角的数量关系，解题思路是结合已知∠AOB=90°和第一问得到的∠AOF=∠BOE，将待求的∠BOF与∠AOE的和进行拆分，把∠AOF替换为∠BOE，将未知的角和转化为已知的直角之和，即可推出两者的数量关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点O为圆心，取任意长度为半径画弧，分别与OB、OE、OA相交；
② 保持半径不变，以点O为圆心在OA下方画弧，与OA相交；
③ 量取第一步中弧在OB、OE之间截取的线段长度，在OA下方的弧上截取等长的线段，确定交点F；
④ 过O、F作射线OF，∠AOF即为所求。
(2) 数量关系推导：
已知∠AOB=90°，由(1)可得∠AOF=∠BOE，
∴ ∠AOF+∠AOE=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，即∠EOF=90°，
∴ ∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+∠EOF=90°+90°=180°。
【答案】
(1) 如图，∠AOF 即为所求.
(2) 结论：∠BOF+∠AOE=180°.
理由：
∵∠AOF=∠BOE,
∴∠AOB=∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+∠EOF=90°+90°=180°.
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题属于基础题，既考查了尺规基本作图的操作能力，也考查了角的关系推导能力，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，并且能够对未知角进行合理拆分、转化，结合已知条件进行计算。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为尺规作图题，解题思路是回忆“作一个角等于已知角”的基本操作步骤，以O为顶点，OA为其中一边，在OA下方作出与∠BOE大小相等的角即可。
(2) 第二问探究角的数量关系，解题思路是结合已知∠AOB=90°和第一问得到的∠AOF=∠BOE，将待求的∠BOF与∠AOE的和进行拆分，把∠AOF替换为∠BOE，将未知的角和转化为已知的直角之和，即可推出两者的数量关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点O为圆心，取任意长度为半径画弧，分别与OB、OE、OA相交；
② 保持半径不变，以点O为圆心在OA下方画弧，与OA相交；
③ 量取第一步中弧在OB、OE之间截取的线段长度，在OA下方的弧上截取等长的线段，确定交点F；
④ 过O、F作射线OF，∠AOF即为所求。
(2) 数量关系推导：
已知∠AOB=90°，由(1)可得∠AOF=∠BOE，
∴ ∠AOF+∠AOE=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，即∠EOF=90°，
∴ ∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+∠EOF=90°+90°=180°。
【答案】
(1) 如图，∠AOF 即为所求.
(2) 结论：∠BOF+∠AOE=180°.
理由：
∵∠AOF=∠BOE,
∴∠AOB=∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+∠EOF=90°+90°=180°.
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题属于基础题，既考查了尺规基本作图的操作能力，也考查了角的关系推导能力，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，并且能够对未知角进行合理拆分、转化，结合已知条件进行计算。
【难度系数】
0.8
6. 尺规作图：如图，已知平面上三点A，B，C.（不写作法，保留作图痕迹）
(1) 作射线AC，线段AB.
(2) 作∠ABD=∠BAC，交射线AC于点D.
(1) 作射线AC，线段AB.
(2) 作∠ABD=∠BAC，交射线AC于点D.
答案
解：(1) 根据射线、线段的定义画出图形，如图所示，射线AC、线段AB即为所求.
(2) 根据作一个角等于已知角的方法作出图形，如图所示，点D即为所求.
解析
【分析】
解决本题分步思考即可：①针对第(1)问，先回忆线段、射线的定义：线段有两个端点，长度有限，因此作线段AB只需直接连接A、B两点即可；射线有1个端点，向一端无限延伸，因此作射线AC要以A为端点，过点C向AC方向延伸画线即可。②针对第(2)问，要作∠ABD=∠BAC，可使用教材中学过的“尺规作一个角等于已知角”的方法，依据SSS全等判定的原理操作，作出的BD边与射线AC的交点就是要求的点D，作图全程保留所有痕迹即可。
【解析】
(1) 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；将直尺对齐A、C两点，从A点出发过C点向外延伸画线，得到射线AC。
(2) 按作一个角等于已知角的标准步骤操作：
①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC交于两个交点；
②以点B为圆心，取和第一步相同的长度为半径画弧，与AB交于一个交点；
③用圆规量取第一步中∠BAC上两个交点的距离，以第二步中B侧弧和AB的交点为圆心，以该距离为半径画弧，和第二步中B点画出的弧交于一点；
④过B点和该交点画射线BD，射线BD与射线AC的交点即为所求的点D。
【答案】
(1) 射线AC、线段AB如图所示；
(2) 点D如图所示。
【知识点】
1. 线段、射线的定义
2. 尺规作一个角等于已知角
【点评】
本题是基础尺规作图类题目，主要考查基础几何图形的作图能力，以及作等角这一基本尺规作图方法的掌握情况，熟练掌握基础作图步骤即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
解决本题分步思考即可：①针对第(1)问，先回忆线段、射线的定义：线段有两个端点，长度有限，因此作线段AB只需直接连接A、B两点即可；射线有1个端点，向一端无限延伸，因此作射线AC要以A为端点，过点C向AC方向延伸画线即可。②针对第(2)问，要作∠ABD=∠BAC，可使用教材中学过的“尺规作一个角等于已知角”的方法，依据SSS全等判定的原理操作，作出的BD边与射线AC的交点就是要求的点D，作图全程保留所有痕迹即可。
【解析】
(1) 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；将直尺对齐A、C两点，从A点出发过C点向外延伸画线，得到射线AC。
(2) 按作一个角等于已知角的标准步骤操作：
①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC交于两个交点；
②以点B为圆心，取和第一步相同的长度为半径画弧，与AB交于一个交点；
③用圆规量取第一步中∠BAC上两个交点的距离，以第二步中B侧弧和AB的交点为圆心，以该距离为半径画弧，和第二步中B点画出的弧交于一点；
④过B点和该交点画射线BD，射线BD与射线AC的交点即为所求的点D。
【答案】
(1) 射线AC、线段AB如图所示；
(2) 点D如图所示。
【知识点】
1. 线段、射线的定义
2. 尺规作一个角等于已知角
【点评】
本题是基础尺规作图类题目，主要考查基础几何图形的作图能力，以及作等角这一基本尺规作图方法的掌握情况，熟练掌握基础作图步骤即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$∠ α=27°$，根据尺规作图的痕迹，$∠ AOB$的度数为________。
答案
54°
解析
【分析】
首先观察尺规作图的痕迹，可知作图是先后以OB为初始边，作出两个与已知∠α大小相等的角，两个角拼接后得到∠AOB，因此∠AOB的度数是∠α的2倍，代入∠α的度数计算即可得到结果。
【解析】
解：由尺规作图的痕迹可得，$∠ AOB = 2∠ α$，
已知$∠ α=27°$，
所以$∠ AOB = 2×27° = 54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
尺规作相等的角，角的运算
【点评】
本题侧重考查对尺规作图痕迹的识别能力，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤，能根据痕迹判断角的数量关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察尺规作图的痕迹，可知作图是先后以OB为初始边，作出两个与已知∠α大小相等的角，两个角拼接后得到∠AOB，因此∠AOB的度数是∠α的2倍，代入∠α的度数计算即可得到结果。
【解析】
解：由尺规作图的痕迹可得，$∠ AOB = 2∠ α$，
已知$∠ α=27°$，
所以$∠ AOB = 2×27° = 54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
尺规作相等的角，角的运算
【点评】
本题侧重考查对尺规作图痕迹的识别能力，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤，能根据痕迹判断角的数量关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
