【例】如图14.2-23，$∠ A=∠ B=90°$，$E$是$AB$上的一点，且$AE=BC$，$∠ 1=∠ 2$.
(1) $\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BEC$全等吗？并说明理由.
(2) $△ CDE$是不是直角三角形？并说明理由.
【点拨】本题考查了直角三角形的判定、全等三角形的性质. 做题时要结合图形，在图形上找条件. (1) 根据$∠ 1=∠ 2$，得$DE=CE$，利用“HL”可证明$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC$. (2) 由$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC$得到角相等，再得出$90°$角，则$△ CDE$是直角三角形.

图14.2-23

解：(1) 全等. 理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，在Rt△ADE和Rt△BEC中，$\begin{cases} AE=BC, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
(2) 如图，是直角三角形. 理由如下：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4.
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形.

【分析】
(1) 要判断两个直角三角形是否全等，先梳理已知条件：由∠1=∠2，根据等角对等边可得DE=CE，题目已给出AE=BC，且∠A=∠B=90°，两个三角形均为直角三角形，因此可通过直角三角形全等的HL判定定理证明两三角形全等。
(2) 要判断△CDE是否为直角三角形，只需证明其有一个内角为90°。借助第一问的全等结论可得对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换推导得出∠DEC=90°，即可得到结论。
【解析】
(1) 全等，理由如下：
∵∠1=∠2，根据等腰三角形等角对等边的性质，可得$DE=CE$。
又
∵$∠A=∠B=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中：
$\begin{cases} AE=BC \\ DE=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$。
(2) $△ CDE$是直角三角形，理由如下：
由$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC$，可得对应角$∠ADE=∠BEC$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，两锐角互余，即$∠ADE+∠AED=90°$，
将$∠ADE$替换为$∠BEC$，得$∠BEC+∠AED=90°$。
又
∵$∠AED+∠DEC+∠BEC=180°$（平角的定义），
∴$∠DEC=180°-(∠BEC+∠AED)=180°-90°=90°$，
∴$△ CDE$是直角三角形。
【答案】
解：(1) 全等. 理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，在Rt△ADE和Rt△BEC中，$\begin{cases} AE=BC, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
(2) 如图，是直角三角形. 理由如下：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4.
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形.
【知识点】
1. 等角对等边
2. 直角三角形全等判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质、三角形全等判定与性质、直角三角形判定相结合，解题时需先利用已知角的关系得到边相等证明全等，再通过全等的性质推导角的关系，考查对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图，$PD ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$PD=PE$，则$△ APD$与$△ APE$全等的依据是.

1. HL

【分析】
首先观察已知条件，PD⊥AB、PE⊥AC，可先判断△APD和△APE都是直角三角形；接下来找全等的条件：题目明确给出PD=PE，同时两个三角形有公共斜边AP，符合直角三角形全等判定中“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的HL定理，因此可确定全等依据。
【解析】
∵ $PD ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，
∴ $∠ ADP = ∠ AEP = 90°$，即$△ APD$和$△ APE$均为直角三角形。
在$Rt△ APD$和$Rt△ APE$中：
$\begin{cases}PD = PE (\mathrm{已知}) \\AP = AP (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $Rt△ APD ≌ Rt△ APE (\mathrm{HL})$
【答案】
HL
【知识点】
1. HL定理
2. 垂直的定义
【点评】
本题属于基础考查题，核心是直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时要先明确HL仅适用于直角三角形，再结合已知的直角边相等和公共斜边相等即可快速得到结论。
【难度系数】
0.9

2. 如图，$AC⊥BD$于点$P$，$AP=CP$，增加下列一个条件：①$BP=DP$；②$AB=CD$；③$∠A=∠C$. 其中能判定$△ ABP≌△ CDP$的条件有（）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2. D

【分析】
首先梳理已知条件：由$AC⊥BD$可得$∠ APB=∠ CPD=90°$，且题目给出$AP=CP$。要判断新增的3个条件能否判定$△ ABP≌△ CDP$，只需结合三角形全等的判定定理，逐个验证每个条件是否满足全等判定要求即可。
【解析】
已知$AC⊥BD$，则$∠ APB=∠ CPD=90°$，且$AP=CP$，逐个分析条件：
1. 增加条件①$BP=DP$：
在$△ ABP$和$△ CDP$中：
$\begin{cases} AP=CP \\ ∠ APB=∠ CPD \\ BP=DP \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ CDP(\mathrm{SAS})$，①符合要求；
2. 增加条件②$AB=CD$：
$△ ABP$和$△ CDP$均为直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ CDP$中：
$\begin{cases} AP=CP \\ AB=CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABP≌\mathrm{Rt}△ CDP(\mathrm{HL})$，②符合要求；
3. 增加条件③$∠ A=∠ C$：
在$△ ABP$和$△ CDP$中：
$\begin{cases} ∠ A=∠ C \\ AP=CP \\ ∠ APB=∠ CPD \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ CDP(\mathrm{ASA})$，③符合要求。
综上，3个条件都能判定$△ ABP≌△ CDP$。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，直角三角形全等的判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用题，解题核心是先明确已知的等角、等边，再结合添加的条件逐一验证是否满足全等判定规则，能很好地考查学生对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$AC=BD$，$BD⊥AD$于点$D$，$AC⊥BC$于点$C$. 求证：$∠ ABC=∠ BAD$.

3. 证明：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB=∠BDA=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
∴∠ABC=∠BAD.

【分析】
要证明∠ABC=∠BAD，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。观察图形可知，∠ABC在Rt△ABC中，∠BAD在Rt△BAD中，首先根据垂直的定义可确定两个三角形均为直角三角形；其次两个三角形有公共斜边AB，结合已知的直角边AC=BD，符合直角三角形全等的HL判定条件，证明两个三角形全等后，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB=∠BDA=90°，即△ABC和△BAD都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△BAD中：
$\begin{cases} AB=BA（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD（全等三角形对应角相等）。
【答案】
证明：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB=∠BDA=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
∴∠ABC=∠BAD.
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础的全等证明题，解题关键是挖掘公共边这一隐含条件，结合已知利用HL判定直角三角形全等，再通过全等的性质得到对应角相等，能有效考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8