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已知 $ a + b = \frac{1}{2} $，$ ab = \frac{8}{3} $，求 $ a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 $ 的值。
解 $ a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 $
$ = ab(a^2 + 2ab + b^2) $
$ = ab(a + b)^2 $
将 $ a + b = \frac{1}{2} $，$ ab = \frac{8}{3} $ 代入，
得原式 $ = \frac{8}{3} × ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{8}{3} × \frac{1}{4} = \frac{2}{3} $
解 $ a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 $
$ = ab(a^2 + 2ab + b^2) $
$ = ab(a + b)^2 $
将 $ a + b = \frac{1}{2} $，$ ab = \frac{8}{3} $ 代入，
得原式 $ = \frac{8}{3} × ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{8}{3} × \frac{1}{4} = \frac{2}{3} $
答案
解：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a + b = \frac{1}{2}$，$ab = \frac{8}{3}$代入上式：
原式$=\frac{8}{3} × (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$=\frac{2}{3}$
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a + b = \frac{1}{2}$，$ab = \frac{8}{3}$代入上式：
原式$=\frac{8}{3} × (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要解这道题，首先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式$ab$，所以第一步先提取公因式$ab$；提取公因式后，括号内的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可以转化为$(a+b)^2$，这样就把所求代数式整理成了仅含$ab$和$a+b$的形式，而题目刚好给出了$a+b$和$ab$的值，直接整体代入计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a + b = \frac{1}{2}$，$ab = \frac{8}{3}$代入上式：
原式$=\frac{8}{3} × (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入思想避免复杂计算，需要熟练掌握因式分解的常用方法和公式的应用。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式$ab$，所以第一步先提取公因式$ab$；提取公因式后，括号内的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可以转化为$(a+b)^2$，这样就把所求代数式整理成了仅含$ab$和$a+b$的形式，而题目刚好给出了$a+b$和$ab$的值，直接整体代入计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a + b = \frac{1}{2}$，$ab = \frac{8}{3}$代入上式：
原式$=\frac{8}{3} × (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入思想避免复杂计算，需要熟练掌握因式分解的常用方法和公式的应用。
【难度系数】
0.8
5. 利用因式分解求 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$ 的值，其中 $a + b = 1$，$ab = \frac{5}{16}$。
答案
解 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3 = 4ab(a^2 + 2ab + b^2)=4ab(a+b)^2$。当 $a + b = 1$，$ab = \dfrac{5}{16}$ 时，原式$=4×\dfrac{5}{16}×1^2=\dfrac{5}{4}$。
解析
【分析】
首先观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式4ab，第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可因式分解为$(a+b)^2$，此时整个代数式转化为仅含$a+b$和$ab$的式子，直接代入题目给出的已知条件计算即可，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
解：先对原式因式分解：
$4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$
$=4ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=4ab(a+b)^2$
将$a + b = 1$，$ab = \frac{5}{16}$代入上式得：
原式$=4×\frac{5}{16}×1^2=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，从而简化运算，解题时需先观察代数式的结构特征，选择合适的因式分解方法。
【难度系数】
0.8
首先观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式4ab，第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可因式分解为$(a+b)^2$，此时整个代数式转化为仅含$a+b$和$ab$的式子，直接代入题目给出的已知条件计算即可，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
解：先对原式因式分解：
$4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$
$=4ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=4ab(a+b)^2$
将$a + b = 1$，$ab = \frac{5}{16}$代入上式得：
原式$=4×\frac{5}{16}×1^2=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，从而简化运算，解题时需先观察代数式的结构特征，选择合适的因式分解方法。
【难度系数】
0.8
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特
数”.例如：$8=3^2 - 1^2$，$16=5^2 - 3^2$，$24=7^2 - 5^2$，则8，16，24这三个数都是奇特数.
（1）设两个连续奇数是$2n - 1$和$2n + 1$（其中n为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（2）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.
解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n · 2 = 8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{\mathrm{阴影部分}} = 39^2 - 37^2 + 35^2 - 33^2 + \dots + 7^2 - 5^2 + 3^2 - 1^2 = (39 + 37) × (39 - 37) + (35 + 33) × (35 - 33) + \dots + (7 + 5) × (7 - 5) + (3 + 1) × (3 - 1) = (39 + 37 + 35 + 33 + \dots + 7 + 5 + 3 + 1) × 2 = (1 + 39) × 20 ÷ 2 × 2 = 800$.
数”.例如：$8=3^2 - 1^2$，$16=5^2 - 3^2$，$24=7^2 - 5^2$，则8，16，24这三个数都是奇特数.
（1）设两个连续奇数是$2n - 1$和$2n + 1$（其中n为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（2）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.
解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n · 2 = 8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{\mathrm{阴影部分}} = 39^2 - 37^2 + 35^2 - 33^2 + \dots + 7^2 - 5^2 + 3^2 - 1^2 = (39 + 37) × (39 - 37) + (35 + 33) × (35 - 33) + \dots + (7 + 5) × (7 - 5) + (3 + 1) × (3 - 1) = (39 + 37 + 35 + 33 + \dots + 7 + 5 + 3 + 1) × 2 = (1 + 39) × 20 ÷ 2 × 2 = 800$.
答案
解析
【分析】
（1）要判断两个连续奇数构造的奇特数是否为8的倍数，可利用平方差公式对两个奇数的平方差进行化简，观察化简结果是否含因数8即可。
（2）观察图形可知，阴影部分面积是相邻边长为连续奇数的正方形面积差的和，可借助平方差公式将每一组平方差展开变形，再结合连续奇数的求和规律计算最终结果。
【解析】
（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：
根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 &= (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - (2n - 1)) \\&= 4n × 2 \\&= 8n\end{aligned}$
因为n是正整数，所以8n是8的倍数，即这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。
（2）阴影部分面积为相邻奇数边长的正方形面积差的和，列式为：
$S_{\mathrm{阴影}} = 39^2 - 37^2 + 35^2 - 33^2 + \dots + 3^2 - 1^2$
对每一组平方差用平方差公式拆分：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+\dots+(3+1)(3-1) \\&=(39+37+35+33+\dots+3+1) × 2\end{aligned}$
其中$1+3+5+\dots+39$是首项为1、末项为39、共20项的连续奇数和，求和得：
$1+3+\dots+39 = \frac{(1+39) × 20}{2} = 400$
代入计算得$S_{\mathrm{阴影}} = 400 × 2 = 800$
【答案】
（1）是8的倍数，理由见解析；（2）$\boxed{800}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简
3. 规律探究计算
【点评】
本题结合新定义和图形规律考查平方差公式的应用，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，能灵活对平方差形式的式子变形，同时需要掌握连续数列求和的方法，能有效考查代数运算能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
（1）要判断两个连续奇数构造的奇特数是否为8的倍数，可利用平方差公式对两个奇数的平方差进行化简，观察化简结果是否含因数8即可。
（2）观察图形可知，阴影部分面积是相邻边长为连续奇数的正方形面积差的和，可借助平方差公式将每一组平方差展开变形，再结合连续奇数的求和规律计算最终结果。
【解析】
（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：
根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 &= (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - (2n - 1)) \\&= 4n × 2 \\&= 8n\end{aligned}$
因为n是正整数，所以8n是8的倍数，即这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。
（2）阴影部分面积为相邻奇数边长的正方形面积差的和，列式为：
$S_{\mathrm{阴影}} = 39^2 - 37^2 + 35^2 - 33^2 + \dots + 3^2 - 1^2$
对每一组平方差用平方差公式拆分：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+\dots+(3+1)(3-1) \\&=(39+37+35+33+\dots+3+1) × 2\end{aligned}$
其中$1+3+5+\dots+39$是首项为1、末项为39、共20项的连续奇数和，求和得：
$1+3+\dots+39 = \frac{(1+39) × 20}{2} = 400$
代入计算得$S_{\mathrm{阴影}} = 400 × 2 = 800$
【答案】
（1）是8的倍数，理由见解析；（2）$\boxed{800}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简
3. 规律探究计算
【点评】
本题结合新定义和图形规律考查平方差公式的应用，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，能灵活对平方差形式的式子变形，同时需要掌握连续数列求和的方法，能有效考查代数运算能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
6. 在边长为5 cm的正方形纸片上剪去一个边长为3 cm的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的
方法（如图）.这两种方法都是求阴影部分的面积，因此 $5^2 - 3^2 = (5 - 3) × (5 + 3)$.
$S_{阴影}=5^2 - 3^2$ $S_{阴影}=(5 - 3) × (5 + 3)$
（1）仔细观察这个等式，猜想一下：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？请举2个例子验证：
① ______；
② ______.
（2）如果用$a$和$b$分别表示两个数（$a＞b$），那么这样的规律可以表示为：______.
（3）计算图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算.（单位：cm）
方法（如图）.这两种方法都是求阴影部分的面积，因此 $5^2 - 3^2 = (5 - 3) × (5 + 3)$.
$S_{阴影}=5^2 - 3^2$ $S_{阴影}=(5 - 3) × (5 + 3)$
（1）仔细观察这个等式，猜想一下：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？请举2个例子验证：
① ______；
② ______.
（2）如果用$a$和$b$分别表示两个数（$a＞b$），那么这样的规律可以表示为：______.
（3）计算图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算.（单位：cm）
答案
6. 解 （1）①$2^2 - 1^2=(2+1)×(2-1)$ ②$3^2 - 2^2=(3+2)×(3-2)$（答案不唯一）
（2）$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
（3） 圆环的面积 $= π R^2 - π r^2 = 4.25^2π - 3.25^2π=(4.25^2 - 3.25^2)π=(4.25+3.25)×(4.25-3.25)π=7.5π\ (\mathrm{cm}^2)$。
（2）$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
（3） 圆环的面积 $= π R^2 - π r^2 = 4.25^2π - 3.25^2π=(4.25^2 - 3.25^2)π=(4.25+3.25)×(4.25-3.25)π=7.5π\ (\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
这道题以正方形面积差为引入，探究平方差公式的推导与应用，解题思路如下：
（1）第一问需要验证猜想的规律：两个数的平方差等于两数之和乘两数之差，只需任意选取两组不同的数，分别计算等式左右两边的值，验证相等即可；
（2）第二问是将具体数值抽象为字母a、b（a＞b），把规律用含字母的代数式表示，得到平方差公式的一般形式；
（3）第三问先明确圆环面积=外圆面积-内圆面积，写出表达式后提取公共因式π，剩余部分刚好是两数平方差的形式，直接套用第二问得到的平方差公式即可简化计算。
【解析】
（1）任选两组数验证规律（答案不唯一）：
① 取a=2，b=1，左边=$2^2 - 1^2=4-1=3$，右边=$(2+1)×(2-1)=3×1=3$，左右两边相等，可得$2^2 - 1^2=(2+1)×(2-1)$；
② 取a=3，b=2，左边=$3^2 - 2^2=9-4=5$，右边=$(3+2)×(3-2)=5×1=5$，左右两边相等，可得$3^2 - 2^2=(3+2)×(3-2)$；
（2）用a、b表示两个数且$a＞b$，整理可得一般规律：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
（3）已知圆环外圆半径$R=4.25\mathrm{cm}$，内圆半径$r=3.25\mathrm{cm}$，根据圆环面积公式：
$\begin{aligned}S_{圆环}&=πR^2 - πr^2\\&= 4.25^2π - 3.25^2π\\&=(4.25^2 - 3.25^2)π\\&=(4.25+3.25)×(4.25-3.25)π\\&=7.5×1×π\\&=7.5π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）①$2^2 - 1^2=(2+1)×(2-1)$ ②$3^2 - 2^2=(3+2)×(3-2)$（答案不唯一）
（2）$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
（3）$7.5π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平方差公式，规律探究，圆环面积计算
【点评】
本题从几何实例出发，遵循从特殊到一般的探究思路，引导学生自主归纳平方差公式，再结合圆环面积计算考查公式的实际应用，能很好地锻炼学生的归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.85
这道题以正方形面积差为引入，探究平方差公式的推导与应用，解题思路如下：
（1）第一问需要验证猜想的规律：两个数的平方差等于两数之和乘两数之差，只需任意选取两组不同的数，分别计算等式左右两边的值，验证相等即可；
（2）第二问是将具体数值抽象为字母a、b（a＞b），把规律用含字母的代数式表示，得到平方差公式的一般形式；
（3）第三问先明确圆环面积=外圆面积-内圆面积，写出表达式后提取公共因式π，剩余部分刚好是两数平方差的形式，直接套用第二问得到的平方差公式即可简化计算。
【解析】
（1）任选两组数验证规律（答案不唯一）：
① 取a=2，b=1，左边=$2^2 - 1^2=4-1=3$，右边=$(2+1)×(2-1)=3×1=3$，左右两边相等，可得$2^2 - 1^2=(2+1)×(2-1)$；
② 取a=3，b=2，左边=$3^2 - 2^2=9-4=5$，右边=$(3+2)×(3-2)=5×1=5$，左右两边相等，可得$3^2 - 2^2=(3+2)×(3-2)$；
（2）用a、b表示两个数且$a＞b$，整理可得一般规律：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；
（3）已知圆环外圆半径$R=4.25\mathrm{cm}$，内圆半径$r=3.25\mathrm{cm}$，根据圆环面积公式：
$\begin{aligned}S_{圆环}&=πR^2 - πr^2\\&= 4.25^2π - 3.25^2π\\&=(4.25^2 - 3.25^2)π\\&=(4.25+3.25)×(4.25-3.25)π\\&=7.5×1×π\\&=7.5π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）①$2^2 - 1^2=(2+1)×(2-1)$ ②$3^2 - 2^2=(3+2)×(3-2)$（答案不唯一）
（2）$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
（3）$7.5π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平方差公式，规律探究，圆环面积计算
【点评】
本题从几何实例出发，遵循从特殊到一般的探究思路，引导学生自主归纳平方差公式，再结合圆环面积计算考查公式的实际应用，能很好地锻炼学生的归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.85
