7. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的小长方形，且$a＞b$.
（1）观察图形，把多项式$2a^2 + 5ab + 2b^2$进行因式分解；
（2）若这张大长方形纸板的周长为78 cm，图中空白部分的面积为120 cm²，求图中阴影部分的面积.

解 （1）$(2a + b)(a + 2b)$
（2） 因为这张大长方形纸板的周长为78 cm，空白部分的面积为120 cm²，所以 $5ab=120$，$2(2a + b + a + 2b)=78$。所以 $ab=24$，$a + b=13$。所以阴影部分的面积为 $2a^2 + 2b^2=2(a^2 + b^2)=2[(a + b)^2 - 2ab]=2×(13^2 - 2×24)=2×(169 - 48)=242\ (\mathrm{cm}^2)$。答：图中阴影部分的面积为 $242\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】
（1）对多项式$2a^2+5ab+2b^2$因式分解可结合面积法分析：整个大长方形的面积等于裁剪出的2块大正方形、2块小正方形和5块小长方形的面积之和，即$2a^2+5ab+2b^2$；同时观察可得大长方形的长为$2a+b$、宽为$a+2b$，面积也可表示为长乘宽，据此即可得到因式分解结果。
（2）求阴影部分面积时，首先明确阴影部分是2个边长为$a$的正方形和2个边长为$b$的正方形，面积为$2a^2+2b^2$。先根据大长方形周长为78cm列出周长公式求出$a+b$的值，再根据空白部分（5个长$a$宽$b$的小长方形）面积为120cm²求出$ab$的值，最后利用完全平方公式将$2a^2+2b^2$变形为$2[(a+b)^2-2ab]$，代入数值计算即可。
【解析】
（1）由图形可知，大长方形的面积等于所有裁剪块的面积和，即$S_{\mathrm{大长方形}}=2a^2+5ab+2b^2$；
同时大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$a+b+b=a+2b$，因此$S_{\mathrm{大长方形}}=(2a+b)(a+2b)$，
所以$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
（2）根据题意列关系式：
① 大长方形周长为78cm，因此$2[(2a+b)+(a+2b)]=78$，
化简得$2(3a+3b)=78$，即$6(a+b)=78$，解得$a+b=13$；
② 空白部分为5个长$a$宽$b$的小长方形，面积为120cm²，因此$5ab=120$，解得$ab=24$；
阴影部分面积为2个大正方形和2个小正方形的面积和，即$S_{\mathrm{阴影}}=2a^2+2b^2$，
由完全平方公式变形得：$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)=2[(a+b)^2-2ab]$，
将$a+b=13$、$ab=24$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2×(13^2 - 2×24)=2×(169 - 48)=2×121=242(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
（2）$\boldsymbol{242\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
因式分解的几何意义，完全平方公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将代数运算和几何图形的周长、面积关系结合，既考查了因式分解的直观理解，也考查了完全平方公式的变形应用，需要学生能够从图形中准确提取数量关系，熟练掌握公式的灵活变形。
【难度系数】
0.7