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利用因式分解简算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{316^2})×(1-\dfrac{1}{317^2})$.
解 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{316})×(1+\dfrac{1}{316})×(1-\dfrac{1}{317})×(1+\dfrac{1}{317})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{315}{316}×\dfrac{317}{316}×\dfrac{316}{317}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{159}{317}.$
解 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{316})×(1+\dfrac{1}{316})×(1-\dfrac{1}{317})×(1+\dfrac{1}{317})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{315}{316}×\dfrac{317}{316}×\dfrac{316}{317}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{318}{317}=\dfrac{159}{317}.$
答案
解：
利用平方差公式对每一项因式分解，可得$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$，因此：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{317})×(1+\frac{1}{317})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{316}{317}×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×···×(\frac{317}{316}×\frac{316}{317})×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×\frac{318}{317}\\&=\frac{159}{317}\end{aligned}$
利用平方差公式对每一项因式分解，可得$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$，因此：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{317})×(1+\frac{1}{317})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{316}{317}×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×···×(\frac{317}{316}×\frac{316}{317})×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×\frac{318}{317}\\&=\frac{159}{317}\end{aligned}$
解析
【分析】
观察算式中每一项均为$1-\dfrac{1}{n^2}$的形式，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式对每一项因式分解；分解后可发现相邻的分数项可以交叉约分，仅剩余首尾的两项，直接相乘即可得出结果，无需逐项计算。
【解析】
利用平方差公式可得$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{317})×(1+\frac{1}{317})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{316}{317}×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×···×(\frac{317}{316}×\frac{316}{317})×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×\frac{318}{317}\\&=\frac{159}{317}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{159}{317}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，分数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题关键是准确识别算式的平方差结构，通过因式分解将原式转化为可交叉约分的分数连乘形式，大幅简化计算过程，掌握该规律后可快速解决同类连乘简算问题。
【难度系数】
0.7
观察算式中每一项均为$1-\dfrac{1}{n^2}$的形式，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式对每一项因式分解；分解后可发现相邻的分数项可以交叉约分，仅剩余首尾的两项，直接相乘即可得出结果，无需逐项计算。
【解析】
利用平方差公式可得$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{317})×(1+\frac{1}{317})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{316}{317}×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×···×(\frac{317}{316}×\frac{316}{317})×\frac{318}{317}\\&=\frac{1}{2}×\frac{318}{317}\\&=\frac{159}{317}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{159}{317}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，分数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题关键是准确识别算式的平方差结构，通过因式分解将原式转化为可交叉约分的分数连乘形式，大幅简化计算过程，掌握该规律后可快速解决同类连乘简算问题。
【难度系数】
0.7
3. 利用因式分解计算：
(1) $[(2^2 -1)×(3^2 -1)×\dots×(2023^2 -1)×(2024^2 -1)]÷(1^2×2^2×3^2×\dots×2023^2×2024^2)=$
(2) $\frac{1^2 -2^2}{2+4} + \frac{3^2 -4^2}{6+8} + \frac{5^2 -6^2}{10+12} + \dots + \frac{1009^2 -1010^2}{2018+2020} + \frac{1011^2 -1012^2}{2022+2024}=$
(1) $[(2^2 -1)×(3^2 -1)×\dots×(2023^2 -1)×(2024^2 -1)]÷(1^2×2^2×3^2×\dots×2023^2×2024^2)=$
$\dfrac{2025}{4048}$
;(2) $\frac{1^2 -2^2}{2+4} + \frac{3^2 -4^2}{6+8} + \frac{5^2 -6^2}{10+12} + \dots + \frac{1009^2 -1010^2}{2018+2020} + \frac{1011^2 -1012^2}{2022+2024}=$
$-253$
.答案
3. (1) $\dfrac{2025}{4048}$ (2) $-253$
解析
【分析】
(1) 观察到分子中每一项均为$n^2-1$的结构，符合平方差公式特征，先利用平方差公式对每一项因式分解，再将分子乘积重新排列后与分母约分，即可简化计算得到结果。
(2) 每一项的分子都是两个连续整数的平方差，先用平方差公式分解分子，再观察发现分母可提取公因式，与分子分解出的公共因式约分后得到每一项的简化值，最后统计项数计算总和即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$n^2-1=(n-1)(n+1)$，将分子展开：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(2-1)(2+1)×(3-1)(3+1)×(4-1)(4+1)×\dots×(2024-1)(2024+1)\\&=1×3 × 2×4 ×3×5 ×4×6 ×\dots×2023×2025\\&=(1×2×3×\dots×2023) × (3×4×5×\dots×2025)\end{aligned}$
分母可改写为：
$\mathrm{分母}=1^2×2^2×3^2×\dots×2024^2=(1×2×3×\dots×2024)×(1×2×3×\dots×2024)$
代入原式约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(1×2×\dots×2023)×(3×4×\dots×2025)}{(1×2×\dots×2024)×(1×2×\dots×2024)}\\&=\frac{2025}{2024×2}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
(2) 观察式子规律，第$k$项分子为$(2k-1)^2-(2k)^2$，分母为$2(2k-1)+2×2k=2[(2k-1)+2k]$。
由平方差公式分解分子：$(2k-1)^2-(2k)^2=(2k-1-2k)(2k-1+2k)=-[(2k-1)+2k]$
因此每一项可化简为：$\frac{ -[(2k-1)+2k] }{2[(2k-1)+2k]} = -\frac{1}{2}$（$(2k-1)+2k≠0$，可约分）
由最后一项$2k=1012$，得$k=506$，即共有506项。
总和为：$506 × (-\frac{1}{2}) = -253$
【答案】
(1) $\dfrac{2025}{4048}$；(2) $-253$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，规律型数字运算
【点评】
本题核心是利用平方差公式因式分解简化复杂运算，解题关键是准确识别式子的结构特征，通过拆分、约分规避直接计算的繁琐，同时要注意准确统计项数，避免因计数错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
(1) 观察到分子中每一项均为$n^2-1$的结构，符合平方差公式特征，先利用平方差公式对每一项因式分解，再将分子乘积重新排列后与分母约分，即可简化计算得到结果。
(2) 每一项的分子都是两个连续整数的平方差，先用平方差公式分解分子，再观察发现分母可提取公因式，与分子分解出的公共因式约分后得到每一项的简化值，最后统计项数计算总和即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$n^2-1=(n-1)(n+1)$，将分子展开：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(2-1)(2+1)×(3-1)(3+1)×(4-1)(4+1)×\dots×(2024-1)(2024+1)\\&=1×3 × 2×4 ×3×5 ×4×6 ×\dots×2023×2025\\&=(1×2×3×\dots×2023) × (3×4×5×\dots×2025)\end{aligned}$
分母可改写为：
$\mathrm{分母}=1^2×2^2×3^2×\dots×2024^2=(1×2×3×\dots×2024)×(1×2×3×\dots×2024)$
代入原式约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(1×2×\dots×2023)×(3×4×\dots×2025)}{(1×2×\dots×2024)×(1×2×\dots×2024)}\\&=\frac{2025}{2024×2}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
(2) 观察式子规律，第$k$项分子为$(2k-1)^2-(2k)^2$，分母为$2(2k-1)+2×2k=2[(2k-1)+2k]$。
由平方差公式分解分子：$(2k-1)^2-(2k)^2=(2k-1-2k)(2k-1+2k)=-[(2k-1)+2k]$
因此每一项可化简为：$\frac{ -[(2k-1)+2k] }{2[(2k-1)+2k]} = -\frac{1}{2}$（$(2k-1)+2k≠0$，可约分）
由最后一项$2k=1012$，得$k=506$，即共有506项。
总和为：$506 × (-\frac{1}{2}) = -253$
【答案】
(1) $\dfrac{2025}{4048}$；(2) $-253$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，规律型数字运算
【点评】
本题核心是利用平方差公式因式分解简化复杂运算，解题关键是准确识别式子的结构特征，通过拆分、约分规避直接计算的繁琐，同时要注意准确统计项数，避免因计数错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
4. 从边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个新的长方形（如图②）。
（1）根据图①中阴影部分的面积与图②中长方形的面积相等，可以验证的等式是________；
（2）小明根据以上结论去计算$(a+1)·(a^2+1)(a≠1)$时发现只需要在前面乘一个$\frac{a-1}{a-1}$即可得到：$\frac{a-1}{a-1}(a+1)(a^2+1)=\frac{a^2-1}{a-1}·(a^2+1)=\frac{a^4-1}{a-1}$，请根据以上规律计算：当$a≠1$时，$(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)=\_\_\_\_\_\_$（直接写出结果即可）；
（3）运用以上规律计算：$(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$。
（1）根据图①中阴影部分的面积与图②中长方形的面积相等，可以验证的等式是________；
（2）小明根据以上结论去计算$(a+1)·(a^2+1)(a≠1)$时发现只需要在前面乘一个$\frac{a-1}{a-1}$即可得到：$\frac{a-1}{a-1}(a+1)(a^2+1)=\frac{a^2-1}{a-1}·(a^2+1)=\frac{a^4-1}{a-1}$，请根据以上规律计算：当$a≠1$时，$(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)=\_\_\_\_\_\_$（直接写出结果即可）；
（3）运用以上规律计算：$(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$。
答案
解 （1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
（2）$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$
（3） 原式$=\dfrac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^2-1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^4-1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^8-1)×…×(5^{64}+1)$
…
$=\dfrac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{5^{128}-1}{4}$。
（2）$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$
（3） 原式$=\dfrac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^2-1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^4-1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{1}{4}×(5^8-1)×…×(5^{64}+1)$
…
$=\dfrac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)$
$=\dfrac{5^{128}-1}{4}$。
解析
【分析】
（1）先分别计算两个图形的阴影面积：图①阴影部分是大正方形减去小正方形，面积为$a^2-b^2$；图②拼成长方形的长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，由面积相等即可得到对应的验证等式。
（2）参照题干给出的计算规律，在原式前乘$\frac{a-1}{a-1}$（$a≠1$时该式值为1，不改变原式结果），之后从左到右反复运用平方差公式计算，每次相乘后因式的指数翻倍，最终化简即可得到结果。
（3）观察算式特征，缺少$(5-1)$项，因此先给原式乘$\frac{1}{4}×(5-1)$（$\frac{1}{4}×4=1$，不改变原式值），再连续运用平方差公式逐步运算，即可求出最终结果。
【解析】
（1）图①阴影面积$=a^2 - b^2$，图②长方形面积$=(a+b)(a-b)$，二者面积相等，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
（2）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-1}{a-1}·(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&=\frac{1}{a-1}·(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&=\frac{1}{a-1}·(a^4-1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&\dots\\&=\frac{1}{a-1}·(a^{32}-1)(a^{32}+1)\\&=\frac{a^{64}-1}{a-1}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&=\frac{1}{4}×(5^2-1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&=\frac{1}{4}×(5^4-1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&\dots\\&=\frac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)\\&=\frac{5^{128}-1}{4}\end{aligned}$
【答案】
（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
（2）$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$
（3）$\dfrac{5^{128}-1}{4}$
【知识点】
平方差公式，规律探究运算，整式简便计算
【点评】
本题结合几何面积验证考查平方差公式的推导及拓展应用，要求学生熟练掌握平方差公式的结构特征，能够灵活构造符合平方差公式的形式简化运算，对学生的规律观察能力和运算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.65
（1）先分别计算两个图形的阴影面积：图①阴影部分是大正方形减去小正方形，面积为$a^2-b^2$；图②拼成长方形的长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，由面积相等即可得到对应的验证等式。
（2）参照题干给出的计算规律，在原式前乘$\frac{a-1}{a-1}$（$a≠1$时该式值为1，不改变原式结果），之后从左到右反复运用平方差公式计算，每次相乘后因式的指数翻倍，最终化简即可得到结果。
（3）观察算式特征，缺少$(5-1)$项，因此先给原式乘$\frac{1}{4}×(5-1)$（$\frac{1}{4}×4=1$，不改变原式值），再连续运用平方差公式逐步运算，即可求出最终结果。
【解析】
（1）图①阴影面积$=a^2 - b^2$，图②长方形面积$=(a+b)(a-b)$，二者面积相等，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
（2）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-1}{a-1}·(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&=\frac{1}{a-1}·(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&=\frac{1}{a-1}·(a^4-1)(a^4+1)·…·(a^{32}+1)\\&\dots\\&=\frac{1}{a-1}·(a^{32}-1)(a^{32}+1)\\&=\frac{a^{64}-1}{a-1}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&=\frac{1}{4}×(5^2-1)×(5^2+1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&=\frac{1}{4}×(5^4-1)×(5^4+1)×…×(5^{64}+1)\\&\dots\\&=\frac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)\\&=\frac{5^{128}-1}{4}\end{aligned}$
【答案】
（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
（2）$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$
（3）$\dfrac{5^{128}-1}{4}$
【知识点】
平方差公式，规律探究运算，整式简便计算
【点评】
本题结合几何面积验证考查平方差公式的推导及拓展应用，要求学生熟练掌握平方差公式的结构特征，能够灵活构造符合平方差公式的形式简化运算，对学生的规律观察能力和运算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.65
