4. (2023沙坪坝区模拟)如图,$AB是\odot O$的直径,$BC是\odot O$的切线,连接$OC交\odot O于点D$,若$\angle A = 30^{\circ}$,$BD = 1$,则$CD$的长为()

A.$3$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$1$

D

设⊙O的半径为r，∵AB是直径，∴OA=OB=OD=r。
∵∠A=30°，∠A是弧BD所对的圆周角，∴弧BD所对的圆心角∠BOD=2∠A=60°。
∵OB=OD=r，∠BOD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴OB=OD=BD=r。
∵BD=1，∴r=1，即OB=OD=1。
∵BC是切线，∴OB⊥BC，∠OBC=90°。
在Rt△OBC中，∠BOC=60°，OB=1，∴OC=OB/cos60°=1/(1/2)=2。
∴CD=OC-OD=2-1=1。

5. (2025一中二模)已知正方形$ABCD的边长为4$,$E为CD$边的中点,以$D$为圆心,$AD长为半径作圆心角为90^{\circ}的扇形ADC$,以$CE$长为直径在正方形内部作半圆,则图中阴影部分的面积是()

A.$\dfrac{5\pi}{2}-2$
B.$\dfrac{7\pi}{2}-4$
C.$\dfrac{9\pi}{2}-2$
D.$\dfrac{11\pi}{2}-4$

B

正方形边长为4，E为CD中点，则CE=2。
扇形ADC：半径AD=4，圆心角90°，面积为$\frac{90}{360}×\pi×4^2=4\pi$。
半圆：CE为直径，半径1，面积为$\frac{1}{2}×\pi×1^2=\frac{\pi}{2}$。
三角形ADE：AD=4，DE=2，面积为$\frac{1}{2}×4×2=4$。
阴影面积=扇形ADC面积 - 三角形ADE面积 - 半圆面积，即$4\pi - 4 - \frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{2}-4$。

6. (2025开州区阶段练习)如图,四边形$ABCD是边长为4$的正方形,$O是AD$的中点,以点$O$为圆心,$OD长为半径的半圆与对角线BD交于点E$,则图中阴影部分的面积为()

A.$6-\pi$
B.$8-\pi$
C.$4$
D.$8$

B

1. 确定正方形及半圆参数：正方形ABCD边长为4，O为AD中点，故AO=OD=2，半圆半径r=2，圆心O(0,2)（以A为原点，AD为y轴建立坐标系）。
2. 求对角线BD与半圆交点E：BD方程为y=-x+4，半圆方程x²+(y-2)²=4。联立解得E(2,2)（另一交点为D）。
3. 计算扇形面积：OE=OD=2，∠EOD=90°（OE水平，OD竖直），扇形OED面积=1/4×π×2²=π。
4. 计算阴影部分面积：△BCD面积=1/2×4×4=8，阴影部分面积=△BCD面积-扇形OED面积=8-π。

7. (2023沙坪坝区中考模拟)如图,矩形$ABCD$中,$AB = 2$,$BC = 2\sqrt{2}$,以点$A$为圆心,$AD为半径作弧交BC于点E$,则图中阴影部分的面积为.(结果保留$\pi$)

$\pi - 2$

在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=AD=2\sqrt{2}$，$\angle B=90°$。以$A$为圆心、$AD$为半径作弧交$BC$于$E$，则$AE=AD=2\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{AE^2 - AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2}=2$，故$\triangle ABE$为等腰直角三角形，$\angle BAE=45°$，则$\angle DAE=90° - 45°=45°$。
扇形$ADE$的面积：$S_{扇形ADE}=\frac{45°}{360°}\pi(2\sqrt{2})^2=\frac{1}{8}\pi×8=\pi$。
$\triangle ADE$的面积：$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AD× AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$（$AB$为$E$到$AD$的距离）。
弓形$DE$的面积：$S_{弓形DE}=S_{扇形ADE}-S_{\triangle ADE}=\pi - 2\sqrt{2}$。
$\triangle CDE$的面积：$EC=BC - BE=2\sqrt{2}-2$，$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}× CD× EC=\frac{1}{2}×2×(2\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}-2$。
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{弓形DE}+S_{\triangle CDE}=(\pi - 2\sqrt{2})+(2\sqrt{2}-2)=\pi - 2$。

8. (2024开州区二模)如图,在平行四边形$ABCD$中,$AD = 6$,$\angle BAD = 45^{\circ}$,点$E是AD$的中点,在$AB上取一点F$,以点$F$为圆心,$FB$的长为半径作圆,该圆与$DC边恰好相切于点D$,连接$BE$,则图中阴影部分面积为______.(结果保留$\pi$)

$18 - \frac{9}{2}\pi$

过点$D$作$DH \perp AB$于$H$，设$FB = FD = r$。
在$Rt\triangle AHD$中，$\angle BAD = 45°$，$AD = 6$，则$AH = DH = AD \cdot \cos 45° = 6 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。
设$AF = x$，则$AB = AF + FB = x + r$。在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD$，且$DH$为$AB$与$CD$间的距离，圆$F$与$DC$相切于$D$，则$FD \perp CD$，又$AB // CD$，所以$FD \perp AB$，即$\triangle AFD$为直角三角形。
在$Rt\triangle AFD$中，$AF^2 + FD^2 = AD^2$，即$x^2 + r^2 = 6^2 = 36$。
又$DH = FB = r$（平行四边形的高等于圆的半径），且$DH = 3\sqrt{2}$，所以$r = 3\sqrt{2}$。
代入$x^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36$，得$x^2 + 18 = 36$，$x^2 = 18$，$x = 3\sqrt{2}$（$x ＞ 0$），则$AF = 3\sqrt{2}$，$AB = x + r = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。
点$E$是$AD$中点，$AE = \frac{1}{2}AD = 3$。
阴影部分面积为梯形$ABED$的面积减去扇形$FBD$的面积。
梯形$ABED$的面积：$\frac{1}{2}(AE + AB) \cdot DH = \frac{1}{2}(3 + 6\sqrt{2}) × 3\sqrt{2} = \frac{1}{2}(9\sqrt{2} + 36) = \frac{9\sqrt{2}}{2} + 18$。（注：此处原思路有误，正确应为$S_{梯形ABED} = \frac{1}{2}(AE + AB) ×$梯形的高，而梯形的高即平行四边形的高$DH = 3\sqrt{2}$，但$AE = 3$，$AB = 6\sqrt{2}$，计算得$\frac{1}{2}(3 + 6\sqrt{2}) × 3\sqrt{2} = \frac{3 × 3\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2} × 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} + \frac{36}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} + 18$。）
扇形$FBD$中，$\angle BFD = 90°$（$FD \perp AB$），半径$r = 3\sqrt{2}$，扇形面积为$\frac{90°}{360°} × \pi r^2 = \frac{1}{4} × \pi × (3\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} × \pi × 18 = \frac{9}{2}\pi$。
点$E$到$AB$的距离为$\frac{1}{2}DH = \frac{3\sqrt{2}}{2}$（$E$为$AD$中点，高为$DH$的一半），$\triangle ABE$的面积为$\frac{1}{2}AB × \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} × 6\sqrt{2} × \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} × 6\sqrt{2} × \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} × \frac{36}{2} = 9$。（注：正确阴影部分为$\triangle BED$与扇形外区域，$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2}AE × DH = \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$，$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB × DH = \frac{1}{2} × 6\sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 18$，则$S_{\triangle BED} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE} = 18 - 9 = 9$。）
阴影部分面积 = $S_{\triangle BED} + (S_{扇形FBD}的外部三角形部分)$，正确应为$S_{\triangle BED} + (S_{\triangle FBD} - S_{扇形FBD})$，$S_{\triangle FBD} = \frac{1}{2}FB × FD = \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2} × 18 = 9$，所以阴影面积 = $9 + (9 - \frac{9}{2}\pi) = 18 - \frac{9}{2}\pi$。
$18 - \frac{9}{2}\pi$

9. (2024重庆一模)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边中点.以点C为圆心,CD为半径画弧,恰好经过点A.以点C为圆心,CE为半径画弧,与AD相切于点F.若BC = 4,则图中阴影部分的面积为.(结果保留$\pi)$

π

1. 平行四边形ABCD中，AD=BC=4，E为BC中点，CE=2。以C为圆心，CE为半径画弧与AD相切于F，故CF=CE=2，且CF⊥AD（切线性质），即CF为AD边上的高，CF=2。
2. 以C为圆心，CD为半径画弧过A，故CA=CD。设AD在x轴上，A(0,0)，D(4,0)，F为AD上切点，CF⊥AD，设F(f,0)，C(f,-2)。由CA=CD得√(f²+2²)=√((4-f)²+2²)，解得f=2，即F(2,0)，C(2,-2)。
3. 向量CA=(-2,2)，CD=(2,2)，CA·CD=(-2)(2)+(2)(2)=0，故∠ACD=90°。
4. 大扇形CAD：半径CA=2√2，圆心角90°，面积=(1/4)π(2√2)²=2π。
5. 小扇形：半径CF=2，圆心角90°，面积=(1/4)π(2)²=π。
6. 阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=2π-π=π。