巩固提升 (2024合川区期末)如图,以$AB为直径的\odot O交AC于点E$,$BC是\odot O$的切线,点$D为BC$中点,连接$DE$.若$AC = 2\sqrt{13}$,$DE = 3$,则$\odot O$的半径等于()
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$\dfrac{5}{2}$

C

连接$BE$，
因为$AB$为直径，
根据直径所对圆周角是直角，
所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，
即$BE\bot AC$，
又因为$BC$是$\odot O$的切线，
根据圆的切线性质，得$AB\bot BC$，
在$Rt \bigtriangleup BEC$中，$D$为$BC$的中点，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
所以$CD = BD = ED = 3$，
故$BC= 2 × 3 = 6$，
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$AC = 2\sqrt{13}$，$BC = 6$，
根据勾股定理，
$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{13})^{2} - 6^{2}} = \sqrt{52 - 36} = \sqrt{16} = 4$，
所以$\odot O$的半径为$\frac{AB}{2} = 2$。

例3 (2025巴蜀二模)如图,在菱形$ABCD$中,以点$A$为圆心,$AB$为半径画弧,交线段$AD于点D$,以$AB$为直径画半圆.若$AB = 6$,$\angle DAB = 60^{\circ}$,则图中阴影部分的面积为()

A.$\dfrac{9}{2}\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{9}{2}\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$
C.$3\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$



D.$3\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$
名师导引 根据题意,构造等边三角形和扇形并分别计算其面积,所求阴影部分的面积是扇形$ABD$减去两者的面积之和.

C

1. 扇形ABD面积：以A为圆心，AB=6为半径，∠DAB=60°，扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{60°}{360°}\pi r^2=\frac{1}{6}\pi×6^2=6\pi$。
2. 等边△ABD面积：AB=AD=6，∠DAB=60°，面积$S_{\triangle ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$。
3. 弓形BD面积：扇形ABD面积减去△ABD面积，即$6\pi - 9\sqrt{3}$。
4. 阴影部分面积：由图可知阴影部分为弓形BD面积的一半（对称性），故$S_{阴影}=\frac{1}{2}(6\pi - 9\sqrt{3})=3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2}$。

巩固提升 (2025八中一模)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$AC = 8$,$D为BC$中点.分别以$BD$,$CD$为半径作弧,与$AC$,$AB分别交于E$,$F$两点,则图中阴影部分的面积为()
A.$48-\dfrac{25}{4}\pi$
B.$24-\dfrac{25}{4}\pi$
C.$24-\dfrac{25}{6}\pi$
D.$48 - 25\pi$

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，则$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。$D$为$BC$中点，故$BD=CD=\frac{BC}{2}=5$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
以$B$为圆心，$BD=5$为半径的扇形与以$C$为圆心，$CD=5$为半径的扇形，其圆心角分别为$\angle B$和$\angle C$。由于$\angle B+\angle C=90°$，两扇形面积之和为$\frac{90°}{360°}×\pi×5^2=\frac{1}{4}×25\pi=\frac{25}{4}\pi$。
阴影部分面积为$\triangle ABC$面积减去两扇形面积之和，即$24-\frac{25}{4}\pi$。

1. (2023梁平期末)如图,在$\odot O$中,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,若$\angle AOB = 54^{\circ}$,则$\angle C= $()

A.$27^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$72^{\circ}$

A

∵∠AOB与∠C分别是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角和圆周角，∠AOB=54°，∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×54°=27°。

2. (2023大足期末)如图,$\angle DAB = 130^{\circ}$,则$\angle DCB$的度数是()

A.$130^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

C

∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DAB+∠DCB=180°（圆内接四边形的对角互补）。∵∠DAB=130°，∴∠DCB=180°-130°=50°。

3. (2023北碚区期中)如图,$BC是\odot O$的切线,点$B$是切点,延长$CO交\odot O于点A$,$OC与\odot O交于点D$,$OD = 2$,$\angle C = 30^{\circ}$,则$AB$的长为()

A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

C

连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，即∠OBC=90°。
∵OD=2，OD为半径，∴OB=OD=2。
在Rt△OBC中，∠C=30°，∠OBC=90°，∴OB=1/2 OC（30°角所对直角边是斜边一半），∴OC=2OB=4。
∵∠BOC=90°-∠C=60°，且A、O、C共线，∴∠AOB=180°-∠BOC=120°。
在△AOB中，OA=OB=2（半径），∠AOB=120°，由余弦定理得：
AB²=OA²+OB²-2·OA·OB·cos120°=2²+2²-2×2×2×(-1/2)=4+4+4=12，∴AB=√12=2√3。