4. (2024徐州三模)若圆锥底面半径为$1.5cm$,侧面展开图的面积为$6\pi cm^{2}$,圆锥母线的长为$cm$.

$4$

设圆锥的母线长为$l$，
圆锥的底面半径为$r = 1.5cm$，则底面周长为$2\pi r = 2\pi × 1.5 = 3\pi$。
圆锥侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即$3\pi$，扇形的半径等于圆锥的母线长$l$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}× 弧长× 半径$，已知侧面展开图的面积为$6\pi cm^{2}$，可得$\frac{1}{2} × 3\pi× l = 6\pi$。
等式两边同时除以$\pi$得：$\frac{1}{2}×3l = 6$，
即$\frac{3}{2}l = 6$，
两边同时乘以$\frac{2}{3}$，解得$l = 4$。

5. (2024淮安一模)如图,将一个圆锥展开后,其侧面是一个圆心角为$120^{\circ}$、半径为$6cm$的扇形,则该圆锥的高为$cm$.

$4\sqrt{2}$。

设圆锥的底面半径为$r$，母线长（即扇形半径）为$l = 6cm$。
扇形的弧长公式为：$弧长 = \frac{n\pi l}{180}$，其中$n$为圆心角。
由题意，扇形的圆心角为$120^{\circ}$，所以扇形的弧长为：
$\frac{120\pi × 6}{180} = 4\pi$，
因为圆锥展开后的扇形弧长等于圆锥底面的周长，所以有：
$2\pi r = 4\pi$，
解得：$r = 2$，
利用勾股定理计算圆锥的高$h$：
$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2}$。
故答案为：$4\sqrt{2}$。

6. (2025梅州阶段练习)如图,已知扇形$AOB的圆心角为120^{\circ}$,半径$OA = 6$.

(1)求扇形$AOB$的面积；
(2)如图,若把扇形纸片$AOB$卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高$OH$.

(1)扇形面积公式为$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）。
已知$n = 120^{\circ}$，$r = OA=6$，代入可得：
$S=\frac{120×\pi×6^{2}}{360}=12\pi$。
(2)设圆锥底面圆的半径为$r$，扇形的弧长公式为$l=\frac{n\pi R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），此扇形弧长等于圆锥底面圆的周长$C = 2\pi r$。
已知$n = 120^{\circ}$，$R = 6$，则$\frac{120\pi×6}{180}=2\pi r$，
$4\pi=2\pi r$，
解得$r = 2$。
圆锥的高$OH$，母线$OB = 6$（即圆锥斜高），根据勾股定理$OH=\sqrt{OB^{2}-r^{2}}$，可得：
$OH=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=\sqrt{36 - 4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
综上，答案依次为：(1)$12\pi$；(2)$4\sqrt{2}$。

例1 (2025八中阶段练习)在$\odot O$中,直径$CD\perp AB于点G$,$A为弧CE$的中点,若$\angle D = 15^{\circ}$,则$EBD= $()

A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$


C.$60^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
名师导引 熟练运用圆周角定理及圆内接四边形性质定理.

C

连接OA、OE。
∵CD是直径，CD⊥AB于G，∴由垂径定理得弧AC=弧BC，∠AOC=∠BOC。
∵A为弧CE中点，∴弧AC=弧AE，故∠AOC=∠AOE。设∠AOC=∠BOC=∠AOE=α。
∵∠D=15°，∠D是圆周角，所对弧为BC，∴∠D=1/2弧BC=1/2α=15°，解得α=30°。
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=2α=60°。
∵CD是直径，∠COD=180°，∴弧ED的度数=∠EOD=∠COD-∠COE=180°-60°=120°。
∠EBD是圆周角，所对弧为ED，∴∠EBD=1/2弧ED=1/2×120°=60°。

巩固提升 (2025西大附中阶段练习)如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D$是圆上两点,连接$OC$,$AC$,$AD$,$CD$,若$\angle BOC= \angle ACD = 35^{\circ}$,则$\angle DAC= $()
A.$35^{\circ}$
B.$37^{\circ}$
C.$37.5^{\circ}$
D.$52.5^{\circ}$

C

∵AB是⊙O的直径，∠BOC=35°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=145°（平角定义）．
∵OA=OC（半径相等），
∴∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-145°)/2=17.5°（等腰三角形性质）．
∵∠ACD=35°，∠ACD是圆周角，其所对弧为AD，
∴弧AD的度数=2∠ACD=70°（圆周角定理）．
∵∠AOC=145°，即弧AC的度数为145°，
∴弧CD的度数=弧AC的度数-弧AD的度数=145°-70°=75°．
∵∠DAC是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=弧CD的度数/2=75°/2=37.5°．

例2 (2025南开期中)如图,四边形$ABCD内接于\odot O$,过$D点作\odot O的切线DE$,连接$CO$,$DO$,若$\angle ADE = 60^{\circ}$,$\angle ABC = 100^{\circ}$,则$\angle COD= $()

A.$65^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
名师导引 运用切线的性质进行计算或论证时,常常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

D

连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，∠ODE=90°．
∵∠ADE=60°，
∴∠ODA=∠ODE - ∠ADE=90° - 60°=30°．
∵OA=OD，
∴△OAD为等腰三角形，∠OAD=∠ODA=30°，则∠AOD=180° - 2×30°=120°（圆心角）．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC + ∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补）．
∵∠ABC=100°，
∴∠ADC=180° - 100°=80°．
∠ADC是圆周角，所对弧为$\overset{\frown}{ABC}$，
∴$\overset{\frown}{ABC}$的度数=2×∠ADC=160°．
整个圆的度数为360°，
∴$\overset{\frown}{ADC}$的度数=360° - 160°=200°．
$\overset{\frown}{ADC}$由$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{DC}$组成，$\overset{\frown}{AD}$的度数=∠AOD=120°（圆心角等于所对弧的度数），
∴$\overset{\frown}{DC}$的度数=$\overset{\frown}{ADC}$的度数 - $\overset{\frown}{AD}$的度数=200° - 120°=80°．
∠COD是圆心角，所对弧为$\overset{\frown}{DC}$，
∴∠COD=$\overset{\frown}{DC}$的度数=80°．