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1. (江苏连云港中考)已知抛物线 $ y = ax^2 (a ＞ 0) $ 过 $ A(-2, y_1) $，$ B(1, y_2) $ 两点，则下列关系式一定正确的是(
A.$ y_1 ＞ 0 ＞ y_2 $
B.$ y_2 ＞ 0 ＞ y_1 $
C.$ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $
D.$ y_2 ＞ y_1 ＞ 0 $
C
)A.$ y_1 ＞ 0 ＞ y_2 $
B.$ y_2 ＞ 0 ＞ y_1 $
C.$ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $
D.$ y_2 ＞ y_1 ＞ 0 $
答案
1.C
解析
∵抛物线$y = ax^2(a＞0)$，
∴抛物线开口向上，顶点为原点$(0,0)$，当$x\neq0$时，$y＞0$。
∵点$A(-2,y_1)$在抛物线上，
∴$y_1=a×(-2)^2 = 4a$。
∵点$B(1,y_2)$在抛物线上，
∴$y_2=a×1^2=a$。
∵$a＞0$，
∴$4a＞a＞0$，即$y_1＞y_2＞0$。
C
2. 已知原点是抛物线 $ y = (m + 1)x^2 $ 的最高点，则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m ＜ -1 $
B.$ m ＜ 1 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ m ＞ -2 $
A
)A.$ m ＜ -1 $
B.$ m ＜ 1 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ m ＞ -2 $
答案
2.A
解析
对于抛物线 $ y = ax^2 $，当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线开口向下，有最高点（原点）。
已知抛物线 $ y = (m + 1)x^2 $ 的最高点是原点，所以二次项系数 $ m + 1 ＜ 0 $。
解得 $ m ＜ -1 $。
A
已知抛物线 $ y = (m + 1)x^2 $ 的最高点是原点，所以二次项系数 $ m + 1 ＜ 0 $。
解得 $ m ＜ -1 $。
A
3. 若点 $ P(m, 4) $ 是抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 上的一点，则 $ m = $
±2√2
。答案
3.±2√2
解析
因为点$ P(m, 4) $在抛物线$ y = \frac{1}{2}x^2 $上，所以将$ P(m, 4) $代入抛物线方程可得：$ 4 = \frac{1}{2}m^2 $，方程两边同时乘以$ 2 $得：$ m^2 = 8 $，解得$ m = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2} $。
±2√2
±2√2
4. 已知抛物线 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 经过点 $ A(-2, -8) $。
(1) 求此抛物线对应的函数解析式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 判断点 $ B(-1, -6) $，$ C(2, -8) $ 是否在此抛物线上。
(1) 求此抛物线对应的函数解析式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 判断点 $ B(-1, -6) $，$ C(2, -8) $ 是否在此抛物线上。
答案
4.
(1)抛物线对应的函数解析式为y=-2x².抛物线y=-2x²开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0)；
(2)点B不在此抛物线上，点C在此抛物线上.
(1)抛物线对应的函数解析式为y=-2x².抛物线y=-2x²开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0)；
(2)点B不在此抛物线上，点C在此抛物线上.
1. 已知 $ y = (k - 1)x^{k^2 - 2} $ 是关于 $ x $ 的二次函数，且有最大值，则 $ k = $(
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ -3 $
A
)A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ -3 $
答案
1.A
解析
因为$y=(k - 1)x^{k^2 - 2}$是关于$x$的二次函数，所以$k^2 - 2=2$，解得$k=\pm2$。又因为函数有最大值，所以二次项系数$k - 1\lt0$，即$k\lt1$，故$k=-2$。
A
A
2. 如图 22.1.2 - 5，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式为① $ y = ax^2 $；② $ y = bx^2 $；③ $ y = cx^2 $；④ $ y = dx^2 $。则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 的大小关系是(
A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ b ＞ a ＞ d ＞ c $
A
)A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ b ＞ a ＞ d ＞ c $
答案
2.A
解析
解：对于二次函数$y=kx^2$，当$k＞0$时，抛物线开口向上；当$k＜0$时，抛物线开口向下。$|k|$越大，抛物线开口越窄。
由图可知，①②开口向上，所以$a＞0$，$b＞0$；③④开口向下，所以$c＜0$，$d＜0$。
①比②开口窄，所以$|a|＞|b|$，又$a＞0$，$b＞0$，故$a ＞ b$。
③比④开口窄，所以$|c|＞|d|$，又$c＜0$，$d＜0$，故$c ＜ d$（因为负数绝对值大的反而小）。
综上，$a ＞ b ＞ d ＞ c$。
答案：B
由图可知，①②开口向上，所以$a＞0$，$b＞0$；③④开口向下，所以$c＜0$，$d＜0$。
①比②开口窄，所以$|a|＞|b|$，又$a＞0$，$b＞0$，故$a ＞ b$。
③比④开口窄，所以$|c|＞|d|$，又$c＜0$，$d＜0$，故$c ＜ d$（因为负数绝对值大的反而小）。
综上，$a ＞ b ＞ d ＞ c$。
答案：B
3. 汽车的刹车距离 $ y $(单位：$ m $)与开始刹车时的速度 $ x $(单位：$ m/s $)之间满足二次函数 $ y = \frac{1}{20}x^2 $，若汽车某次的刹车距离为 $ 5 \, m $，则开始刹车时的速度为(
A.$ 40 \, m/s $
B.$ 20 \, m/s $
C.$ 10 \, m/s $
D.$ 5 \, m/s $
C
)A.$ 40 \, m/s $
B.$ 20 \, m/s $
C.$ 10 \, m/s $
D.$ 5 \, m/s $
答案
3.C
解析
当$y = 5$时，代入$y=\frac{1}{20}x^{2}$，得$5=\frac{1}{20}x^{2}$，
方程两边同乘20：$x^{2}=100$，
解得$x = \pm 10$，
因为速度$x＞0$，所以$x = 10$，
即开始刹车时的速度为$10\space m/s$。
C
方程两边同乘20：$x^{2}=100$，
解得$x = \pm 10$，
因为速度$x＞0$，所以$x = 10$，
即开始刹车时的速度为$10\space m/s$。
C
4. 如图 22.1.2 - 6，$ A $，$ B $ 为抛物线 $ y = ax^2 $ 上的两点，且 $ AB \perp y $ 轴于点 $ (0, 6) $。若 $ AB = 6 $，则该抛物线对应的函数解析式为
y=2/3x²
。答案
4.y=2/3x²
解析
解：
∵AB⊥y轴于点(0,6)，
∴点A，B的纵坐标均为6，设A(-m,6)，B(m,6)(m＞0)。
∵AB=6，
∴2m=6，解得m=3。
∴点B的坐标为(3,6)。
∵点B在抛物线y=ax²上，
∴6=a·3²，解得a=6/9=2/3。
∴抛物线对应的函数解析式为y=2/3x²。
∵AB⊥y轴于点(0,6)，
∴点A，B的纵坐标均为6，设A(-m,6)，B(m,6)(m＞0)。
∵AB=6，
∴2m=6，解得m=3。
∴点B的坐标为(3,6)。
∵点B在抛物线y=ax²上，
∴6=a·3²，解得a=6/9=2/3。
∴抛物线对应的函数解析式为y=2/3x²。
5. 若抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ P(1, b) $，则 $ a = $
-1
，$ b = $-1
。答案
5.-1 -1
解析
解：因为点$P(1,b)$在直线$y = 2x - 3$上，所以将$x=1$代入$y = 2x - 3$，得$b=2×1 - 3=-1$。
又因为点$P(1,-1)$在抛物线$y = ax^2$上，所以将$x=1$，$y=-1$代入$y = ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。
-1 -1
又因为点$P(1,-1)$在抛物线$y = ax^2$上，所以将$x=1$，$y=-1$代入$y = ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。
-1 -1
6. 已知函数 $ y = (m + 2)x^{m^2 + m - 4} $ 是关于 $ x $ 的二次函数。
(1) 求满足条件的 $ m $ 的值。
(2) 当 $ m $ 为何值时，函数图象有最低点？求出这个最低点。这时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 当 $ m $ 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(1) 求满足条件的 $ m $ 的值。
(2) 当 $ m $ 为何值时，函数图象有最低点？求出这个最低点。这时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 当 $ m $ 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
答案
6.
(1)当m=2或m=-3时,原函数为二次函数；
(2)当m=2时，函数图象有最低点(0,0).当x＞0时,y随x的增大而增大；
(3)当m=-3时，函数有最大值0.当x＞0时,y随x的增大而减小.
(1)当m=2或m=-3时,原函数为二次函数；
(2)当m=2时，函数图象有最低点(0,0).当x＞0时,y随x的增大而增大；
(3)当m=-3时，函数有最大值0.当x＞0时,y随x的增大而减小.
