7. 对于函数 $ y = x^2 $，当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时，$ y $ 的取值范围是()

A.$ -1 \leq y \leq 4 $
B.$ 0 \leq y \leq 1 $
C.$ 0 \leq y \leq 4 $
D.$ 1 \leq y \leq 4 $

7.C

解：函数$y = x^2$的图像开口向上，对称轴为$x=0$。
当$x=0$时，$y_{min}=0^2=0$。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=2$时，$y=2^2=4$，比较得$y_{max}=4$。
故当$-1 \leq x \leq 2$时，$y$的取值范围是$0 \leq y \leq 4$。
C

8. 如图 22.1.2 - 7，边长为 $ 2 $ 的正方形 $ ABCD $ 的中心在平面直角坐标系的原点 $ O $ 处，$ AD // x $ 轴，以 $ O $ 为顶点且过 $ A $，$ D $ 两点的抛物线与以 $ O $ 为顶点且过 $ B $，$ C $ 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是。

8.2

解：
∵ 正方形 $ABCD$ 边长为 $2$，中心在原点 $O$，$AD // x$ 轴，
∴ 顶点坐标：$A(-1,1)$，$B(-1,-1)$，$C(1,-1)$，$D(1,1)$。
以 $O$ 为顶点的抛物线关于坐标轴对称，阴影部分经对称变换可拼接为正方形面积的 $\frac{1}{2}$。
正方形面积 $S = 2 × 2 = 4$，
∴ 阴影面积 $= \frac{1}{2} × 4 = 2$。
答案：$2$

9. 若二次函数 $ y = mx^2 $ 的图象经过点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，当 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，则 $ m $ 的取值范围是。

9.m＞0

10. 某地一座抛物线形拱桥的示意图如图 22.1.2 - 8 所示，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 $ A $，$ B $ 两点，桥拱最高点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 9 \, m $，$ AB = 36 \, m $，$ D $，$ E $ 为桥拱底部的两点，且 $ DE // AB $，点 $ E $ 到直线 $ AB $ 的距离为 $ 7 \, m $，求 $ DE $ 的长。

10.DE=48m.

解：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系。
则A(-18,0)，B(18,0)，C(0,9)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+9$，将B(18,0)代入得：$0=a×18^2 + 9$，解得$a=-\frac{1}{36}$，故抛物线解析式为$y=-\frac{1}{36}x^2 + 9$。
点E到AB距离为7m，即E点纵坐标为-7，令$y=-7$，则$-7=-\frac{1}{36}x^2 + 9$，解得$x^2=576$，$x=±24$。
所以D(-24,-7)，E(24,-7)，DE=24 - (-24)=48(m)。
答：DE的长为48m。

11. 问题：如图 22.1.2 - 9，在 $ x $ 轴上有两点 $ A(m, 0) $，$ B(n, 0) (n ＞ m ＞ 0) $。分别过点 $ A $，$ B $ 作 $ x $ 轴的垂线，交抛物线 $ y = x^2 $ 于点 $ C $，$ D $，直线 $ OC $ 交直线 $ BD $ 于点 $ E $，直线 $ OD $ 交直线 $ AC $ 于点 $ F $，点 $ E $，$ F $ 的纵坐标分别记为 $ y_E $，$ y_F $。
探究：当 $ m = 1 $，$ n = 2 $ 时，$ y_E = $，$ y_F = $；当 $ m = 3 $，$ n = 5 $ 时，$ y_E = $，$ y_F = $；
归纳：对任意 $ m $，$ n (n ＞ m ＞ 0) $，猜想 $ y_E $ 与 $ y_F $ 的大小关系，并证明你的猜想。
应用：(1) 若将“抛物线 $ y = x^2 $”改为“抛物线 $ y = ax^2 (a ＞ 0) $”，其他条件不变，请直接写出 $ y_E $ 与 $ y_F $ 的大小关系；
(2) 连接 $ EF $，$ AE $，当 $ S_{四边形OFEB} = 3S_{\triangle OFE} $ 时，求出 $ m $ 与 $ n $ 的数量关系并说明四边形 $ OFEA $ 的形状。

11.[探究]2 2 15 15；归纳：yE=yF；应用：
(1)yE=yF；
(2)n=2m，四边形OFEA是平行四边形