1. 如果$a与b$互为倒数,那么$a^{2}与b^{2}$是否互为倒数？$a^{3}与b^{3}$是否互为倒数？

$a^2$与$b^2$互为倒数;$a^3$与$b^3$互为倒数.

因为$a$与$b$互为倒数，所以$ab = 1$。
$a^{2}b^{2}=(ab)^{2}=1^{2}=1$，故$a^{2}$与$b^{2}$互为倒数。
$a^{3}b^{3}=(ab)^{3}=1^{3}=1$，故$a^{3}$与$b^{3}$互为倒数。

2. 计算：
$1 + 3= $；
$1 + 3 + 5= $；
$1 + 3 + 5 + 7= $；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9= $。
根据上面发现的规律计算：$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 2023 + 2025$。

4 9 16 25 原式$=1013^2$(因为$\frac{1+2025}{2}=1013$).

4；9；16；25；原式$=1013^{2}$（因为$\frac{1+2025}{2}=1013$）

3. 观察下列各式,回答下列问题。
$0.1^{2}= 0.01$,$0.01^{2}= 0.0001$,$10^{2}= 100$,$100^{2}= 10000$,$0.1^{3}= 0.001$,$0.01^{3}= 0.000001$,$10^{3}= 1000$,$100^{3}= 1000000$。
(1)当底数的小数点向左(或向右)移动一位时,其平方数的小数点向左(或向右)移动几位？
(2)当底数的小数点向左(或向右)移动一位时,其立方数的小数点向左(或向右)移动几位？
(3)利用上述规律填空：$123^{2}= 15129$,则$1.23^{2}= $；$12^{3}= 1728$,则$0.12^{3}= $。

(1)2位
(2)3位
(3)1.5129 0.001728

1. (1)算一算下面两组算式：
$(3×5)^{2}与3^{2}×5^{2}$；$[(-2)×3]^{2}与(-2)^{2}×3^{2}$。
每组两个算式的结果是否相同？
(2)想一想,$(a×b)^{3}$等于什么？
(3)猜一猜,当$n$为正整数时,$(a×b)^{n}$等于什么？
(4)利用上述结论,计算：$(-8)^{2022}×(0.125)^{2023}$。

(1)225 36 相同
(2)$a^3b^3$
(3)$a^nb^n$
(4)$(-8)^{2022}×(0.125)^{2023}=(-8×0.125)^{2022}×0.125=(-1)^{2022}×0.125=0.125$.

2. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数$a和b$,规定$a☆b = ab^{2}+2ab + a$,如：$1☆3 = 1×3^{2}+2×1×3 + 1 = 16$。
(1)求$(-2)☆3$的值；
(2)若$(\frac{a + 1}{2}☆3)☆(-\frac{1}{2}) = 8$,求$a$的值。

(1)-32.
(2)$\frac{a+1}{2}☆3=\frac{a+1}{2}×3^2+2×\frac{a+1}{2}×3+\frac{a+1}{2}=8(a+1)$,$8(a+1)☆(-\frac{1}{2})=8(a+1)×(-\frac{1}{2})^2+2×8(a+1)×(-\frac{1}{2})+8(a+1)=2(a+1)=8$,所以$a=3$.