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1. 计算$\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}$的结果是(
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
A
).A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算。回忆同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。因此第一步先保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分子因式分解，最后和分母约分即可得到结果，约分的前提是分母$x-1≠0$，本题隐含该条件，可直接约分。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}&=\frac{3x-3}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)}{x-1}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式的减法；分式的约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题，核心考查同分母分式的运算规则，计算时要注意先合并分子再化简，约分前可先对分子因式分解，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算。回忆同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。因此第一步先保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分子因式分解，最后和分母约分即可得到结果，约分的前提是分母$x-1≠0$，本题隐含该条件，可直接约分。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}&=\frac{3x-3}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)}{x-1}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式的减法；分式的约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题，核心考查同分母分式的运算规则，计算时要注意先合并分子再化简，约分前可先对分子因式分解，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$的结果是(
A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
C
).A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
答案
C
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算题，解题思路如下：第一步先对第二个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法的运算规则，分母不变、分子相减，对分子进行化简；第四步将得到的分式约分化为最简形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：首先对分母因式分解，可得$x^2-1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对原式通分，得：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
化简分子：
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（分式有意义的前提下$x≠\pm1$），得：
$=\frac{1}{x+1}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是先正确分解分母确定最简公分母，通分计算时要注意分子的运算规则，最终结果要化为最简分式，熟练掌握分式加减的运算步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算题，解题思路如下：第一步先对第二个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法的运算规则，分母不变、分子相减，对分子进行化简；第四步将得到的分式约分化为最简形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：首先对分母因式分解，可得$x^2-1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对原式通分，得：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
化简分子：
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（分式有意义的前提下$x≠\pm1$），得：
$=\frac{1}{x+1}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是先正确分解分母确定最简公分母，通分计算时要注意分子的运算规则，最终结果要化为最简分式，熟练掌握分式加减的运算步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3.若$\dfrac{3-2x}{x-1}=\_\_\_\_\_\_+\dfrac{1}{x-1}$，则中的数是(
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意实数
B
).A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意实数
答案
B
解析
【分析】
要求横线上的数，我们可以先设该数为A，利用等式的性质将A单独放在等式一侧，转化为求两个同分母分式的差。根据同分母分式的减法规则，只需将分子相减、分母保持不变，再对得到的分式化简约分即可得到结果。
【解析】
设横线上的数为$A$，由题意可得：
$A=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$A=\frac{(3-2x)-1}{x-1}=\frac{2-2x}{x-1}$
对分子提取公因式$-2$：
$A=\frac{-2(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，因此约去分子分母的公因式$x-1$，得$A=-2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式的加减，分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，既可以通过移项直接做分式减法求解，也可以通过两边同乘公分母消去分母转化为整式运算求解，解题时要注意分式分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要求横线上的数，我们可以先设该数为A，利用等式的性质将A单独放在等式一侧，转化为求两个同分母分式的差。根据同分母分式的减法规则，只需将分子相减、分母保持不变，再对得到的分式化简约分即可得到结果。
【解析】
设横线上的数为$A$，由题意可得：
$A=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$A=\frac{(3-2x)-1}{x-1}=\frac{2-2x}{x-1}$
对分子提取公因式$-2$：
$A=\frac{-2(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，因此约去分子分母的公因式$x-1$，得$A=-2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式的加减，分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，既可以通过移项直接做分式减法求解，也可以通过两边同乘公分母消去分母转化为整式运算求解，解题时要注意分式分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
4.计算：$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b} =$
$\frac{1}{a-b}$
.答案
$\frac{1}{a-b}$
解析
【分析】
这是一道异分母分式的减法计算题，解题思路如下：第一步，先对分式的分母进行因式分解，第一个分母$a^2-b^2$可利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$；第二步，根据分式的基本性质对第二个分式通分，将异分母分式转化为同分母分式；第三步，按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号的变化；第四步，对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，再通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{2a - (a - b)}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{2a - a + b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{a + b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{1}{a-b}\end{aligned}$
（运算默认分式有意义，即$a+b≠0,a-b≠0$）
【答案】
$\frac{1}{a-b}$
【知识点】
异分母分式加减、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查异分母分式的加减运算步骤，解题的关键是准确对分母因式分解确定最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式的减法计算题，解题思路如下：第一步，先对分式的分母进行因式分解，第一个分母$a^2-b^2$可利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$；第二步，根据分式的基本性质对第二个分式通分，将异分母分式转化为同分母分式；第三步，按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号的变化；第四步，对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，再通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{2a - (a - b)}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{2a - a + b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{a + b}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{1}{a-b}\end{aligned}$
（运算默认分式有意义，即$a+b≠0,a-b≠0$）
【答案】
$\frac{1}{a-b}$
【知识点】
异分母分式加减、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查异分母分式的加减运算步骤，解题的关键是准确对分母因式分解确定最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1)$\frac{a^2}{a+b}$
$\frac{b^2+2ab}{a+b}$；
(2)$\frac{x-2y}{2x-y}-\frac{x+y}{2x-y}$；
(3)$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{n-m}-\frac{2n}{n-m}$；
(4)$\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}-\frac{1+x}{2-x}$；
(1)$\frac{a^2}{a+b}$
$\frac{b^2+2ab}{a+b}$；(2)$\frac{x-2y}{2x-y}-\frac{x+y}{2x-y}$；
(3)$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{n-m}-\frac{2n}{n-m}$；
(4)$\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}-\frac{1+x}{2-x}$；
答案
解 (1) 原式 $=\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b$。
(2) 原式 $=\frac{x-2y-x-y}{2x-y}=\frac{-3y}{2x-y}=-\frac{3y}{2x-y}$。
(3) 原式 $=\frac{m+2n+n-2n}{n-m}=\frac{m+n}{n-m}$。
(4) 原式 $=\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$。
(2) 原式 $=\frac{x-2y-x-y}{2x-y}=\frac{-3y}{2x-y}=-\frac{3y}{2x-y}$。
(3) 原式 $=\frac{m+2n+n-2n}{n-m}=\frac{m+n}{n-m}$。
(4) 原式 $=\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$。
解析
【分析】
这4道题均属于分式的加减运算，解题思路如下：首先观察分式的分母：
1. 若分母相同，直接依据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则计算；
2. 若分母互为相反数（如第(4)题的$x-2$和$2-x$），先利用符号变化将分母统一为相同形式，再按同分母分式加减法则计算；
3. 分子加减运算后，若能因式分解则先分解，再约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式，注意分子是多项式时，加减运算要带括号避免符号错误。
【解析】
(1) 两个分式分母均为$a+b$，为同分母分式相加：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a+b} \\&=\frac{(a+b)^2}{a+b} \quad (\mathrm{分子用完全平方公式因式分解，隐含}a+b≠0) \\&=a+b\end{aligned}$
(2) 两个分式分母均为$2x-y$，为同分母分式相减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x-2y)-(x+y)}{2x-y} \\&=\frac{x-2y -x -y}{2x-y} \quad (\mathrm{去括号注意符号变化}) \\&=-\frac{3y}{2x-y}\end{aligned}$
(3) 三个分式分母均为$n-m$，为同分母分式加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+2n)+n -2n}{n-m} \\&=\frac{m+n}{n-m}\end{aligned}$
(4) 先将第三个分式的分母$2-x$变形为$-(x-2)$，统一分母为$x-2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}+\frac{1+x}{x-2} \\&=\frac{(x^2-5)-x + (1+x)}{x-2} \\&=\frac{x^2-4}{x-2} \\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} \quad (\mathrm{分子用平方差公式因式分解，隐含}x≠2) \\&=x+2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a+b$；
(2) $-\frac{3y}{2x-y}$；
(3) $\frac{m+n}{n-m}$；
(4) $x+2$
【知识点】
同分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心易错点有三处：一是分子是多项式时，加减运算漏加括号导致符号错误；二是互为相反数的分母变形时符号处理错误；三是运算结果忘记约分化简。掌握同分母加减法则和常见的因式分解方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这4道题均属于分式的加减运算，解题思路如下：首先观察分式的分母：
1. 若分母相同，直接依据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则计算；
2. 若分母互为相反数（如第(4)题的$x-2$和$2-x$），先利用符号变化将分母统一为相同形式，再按同分母分式加减法则计算；
3. 分子加减运算后，若能因式分解则先分解，再约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式，注意分子是多项式时，加减运算要带括号避免符号错误。
【解析】
(1) 两个分式分母均为$a+b$，为同分母分式相加：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a+b} \\&=\frac{(a+b)^2}{a+b} \quad (\mathrm{分子用完全平方公式因式分解，隐含}a+b≠0) \\&=a+b\end{aligned}$
(2) 两个分式分母均为$2x-y$，为同分母分式相减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x-2y)-(x+y)}{2x-y} \\&=\frac{x-2y -x -y}{2x-y} \quad (\mathrm{去括号注意符号变化}) \\&=-\frac{3y}{2x-y}\end{aligned}$
(3) 三个分式分母均为$n-m$，为同分母分式加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+2n)+n -2n}{n-m} \\&=\frac{m+n}{n-m}\end{aligned}$
(4) 先将第三个分式的分母$2-x$变形为$-(x-2)$，统一分母为$x-2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}+\frac{1+x}{x-2} \\&=\frac{(x^2-5)-x + (1+x)}{x-2} \\&=\frac{x^2-4}{x-2} \\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} \quad (\mathrm{分子用平方差公式因式分解，隐含}x≠2) \\&=x+2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a+b$；
(2) $-\frac{3y}{2x-y}$；
(3) $\frac{m+n}{n-m}$；
(4) $x+2$
【知识点】
同分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心易错点有三处：一是分子是多项式时，加减运算漏加括号导致符号错误；二是互为相反数的分母变形时符号处理错误；三是运算结果忘记约分化简。掌握同分母加减法则和常见的因式分解方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
