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典例2 计算：
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2($
$+y)} - \frac{y}{2(y - x)}$.
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2($
$+y)} - \frac{y}{2(y - x)}$.答案
解：
(1) 原式$=\frac{c(a+b)}{abc} - \frac{a(b+c)}{abc}$
$=\frac{ac+bc - ab - ac}{abc}$
$=\frac{bc - ab}{abc}$
$=\frac{b(c-a)}{abc}$
$=\frac{c-a}{ac}$
(2) 原式$=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2+2x+1 -4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(3) 原式$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy}{2(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{2(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2(x-y)}$
(1) 原式$=\frac{c(a+b)}{abc} - \frac{a(b+c)}{abc}$
$=\frac{ac+bc - ab - ac}{abc}$
$=\frac{bc - ab}{abc}$
$=\frac{b(c-a)}{abc}$
$=\frac{c-a}{ac}$
(2) 原式$=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2+2x+1 -4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(3) 原式$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy}{2(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{2(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2(x-y)}$
解析
【分析】
解决分式加减类题目，遵循“异转同、算分子、约最简”的思路：第一步先对每个分式的分母因式分解，找到所有分母的最简公分母，若存在互为相反数的分母，先统一符号避免出错；第二步将各分式通分为以最简公分母为分母的同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的规则计算分子部分，注意分子是多项式时要带括号展开，避免符号错误；第三步对计算后的分子因式分解，和分母的公因式约去，得到最简结果。
【解析】
(1) 两分母为$ab$、$bc$，最简公分母为$abc$，通分计算：
原式$=\frac{c(a+b)}{abc} - \frac{a(b+c)}{abc}$
$=\frac{ac+bc - ab - ac}{abc}$
$=\frac{bc - ab}{abc}$
对分子提取公因式$b$，约分：
$=\frac{b(c-a)}{abc}$
$=\frac{c-a}{ac}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分计算：
原式$=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2+2x+1 -4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}$
分子因式分解为$(x-1)^2$，约分：
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(3) 先对分母变形：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$y-x=-(x-y)$，因此原式最后一项可改写为$+\frac{y}{2(x-y)}$，最简公分母为$2(x+y)(x-y)$，通分计算：
原式$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy}{2(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{2(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
分子因式分解为$(x+y)^2$，约分：
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2(x-y)}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{c-a}{ac}}$；(2) $\boxed{\frac{x-1}{x+1}}$；(3) $\boxed{\frac{x+y}{2(x-y)}}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的常规题型，解题的关键是准确确定最简公分母，尤其要注意分母互为相反数时的符号转换，分子相加减后要优先考虑因式分解，便于约分得到最简结果。
【难度系数】
0.7
解决分式加减类题目，遵循“异转同、算分子、约最简”的思路：第一步先对每个分式的分母因式分解，找到所有分母的最简公分母，若存在互为相反数的分母，先统一符号避免出错；第二步将各分式通分为以最简公分母为分母的同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的规则计算分子部分，注意分子是多项式时要带括号展开，避免符号错误；第三步对计算后的分子因式分解，和分母的公因式约去，得到最简结果。
【解析】
(1) 两分母为$ab$、$bc$，最简公分母为$abc$，通分计算：
原式$=\frac{c(a+b)}{abc} - \frac{a(b+c)}{abc}$
$=\frac{ac+bc - ab - ac}{abc}$
$=\frac{bc - ab}{abc}$
对分子提取公因式$b$，约分：
$=\frac{b(c-a)}{abc}$
$=\frac{c-a}{ac}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分计算：
原式$=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2+2x+1 -4x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}$
分子因式分解为$(x-1)^2$，约分：
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(3) 先对分母变形：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$y-x=-(x-y)$，因此原式最后一项可改写为$+\frac{y}{2(x-y)}$，最简公分母为$2(x+y)(x-y)$，通分计算：
原式$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy}{2(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{2(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}$
分子因式分解为$(x+y)^2$，约分：
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2(x-y)}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{c-a}{ac}}$；(2) $\boxed{\frac{x-1}{x+1}}$；(3) $\boxed{\frac{x+y}{2(x-y)}}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的常规题型，解题的关键是准确确定最简公分母，尤其要注意分母互为相反数时的符号转换，分子相加减后要优先考虑因式分解，便于约分得到最简结果。
【难度系数】
0.7
举一反三 计算：
(1)$\frac{2a}{a^2 -4}+\frac{1}{2 -a}$；
(2)$\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{m^2 -n^2}$；
(3)$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}$。
(1)$\frac{2a}{a^2 -4}+\frac{1}{2 -a}$；
(2)$\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{m^2 -n^2}$；
(3)$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}$。
答案
解 (1) $\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$。
(2) $\frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}+\frac{2mn}{m^2-n^2}$
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$。
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$。
(2) $\frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}+\frac{2mn}{m^2-n^2}$
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$。
解析
【分析】
这是分式加减运算类题目，解题遵循分式加减的通用思路：1.先区分是同分母还是异分母运算，异分母运算先通分转化为同分母运算；2.通分前先对分母因式分解，确定最简公分母，互为相反数的分母可通过提取负号统一形式；3.同分母运算时，分母不变，分子相加减，去括号时注意符号变化；4.最后对结果约分，化为最简分式或整式。
具体到各小题：(1)先用平方差公式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，将$2-a$变形为$-(a-2)$，确定最简公分母后通分计算，最后约分；(2)先分解$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，以此为公分母对前两项通分，分子加减后因式分解再约分；(3)属于同分母分式加减，直接合并分子，去括号化简即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母、统一分母形式：
$\frac{2a}{a^2 -4}+\frac{1}{2 -a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
通分，将第二个分式化为以$(a+2)(a-2)$为分母的分式：
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
分母不变，分子相加减后化简：
$=\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$a-2$得：
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$
(2) 先因式分解分母确定最简公分母：
$\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{m^2 -n^2}$
$=\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
通分，将前两项化为以$(m+n)(m-n)$为分母的分式：
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
分母不变，分子相加减、去括号合并同类项：
$=\frac{m^2+mn-(mn-n^2)+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m+n)(m-n)}$
分子因式分解后约分：
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}$
(3) 同分母分式直接合并分子计算：
$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}$
【答案】
(1)$\frac{1}{a+2}$；(2)$\frac{m+n}{m-n}$；(3)$\frac{x}{x+1}$
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察分式加减的运算规则，解题时要注意异分母通分的步骤，尤其要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，去括号、合并同类项、约分等步骤需细致，避免因符号失误出错。
【难度系数】
0.7
这是分式加减运算类题目，解题遵循分式加减的通用思路：1.先区分是同分母还是异分母运算，异分母运算先通分转化为同分母运算；2.通分前先对分母因式分解，确定最简公分母，互为相反数的分母可通过提取负号统一形式；3.同分母运算时，分母不变，分子相加减，去括号时注意符号变化；4.最后对结果约分，化为最简分式或整式。
具体到各小题：(1)先用平方差公式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，将$2-a$变形为$-(a-2)$，确定最简公分母后通分计算，最后约分；(2)先分解$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，以此为公分母对前两项通分，分子加减后因式分解再约分；(3)属于同分母分式加减，直接合并分子，去括号化简即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母、统一分母形式：
$\frac{2a}{a^2 -4}+\frac{1}{2 -a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
通分，将第二个分式化为以$(a+2)(a-2)$为分母的分式：
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
分母不变，分子相加减后化简：
$=\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$a-2$得：
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$
(2) 先因式分解分母确定最简公分母：
$\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{m^2 -n^2}$
$=\frac{m}{m -n}-\frac{n}{m +n}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
通分，将前两项化为以$(m+n)(m-n)$为分母的分式：
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
分母不变，分子相加减、去括号合并同类项：
$=\frac{m^2+mn-(mn-n^2)+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m+n)(m-n)}$
分子因式分解后约分：
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}$
(3) 同分母分式直接合并分子计算：
$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}$
【答案】
(1)$\frac{1}{a+2}$；(2)$\frac{m+n}{m-n}$；(3)$\frac{x}{x+1}$
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察分式加减的运算规则，解题时要注意异分母通分的步骤，尤其要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，去括号、合并同类项、约分等步骤需细致，避免因符号失误出错。
【难度系数】
0.7
