登录
6.计算：
(1)$\frac{12}{m^2 -9}+\frac{2}{3 -m}$；
(2)$\frac{4a}{a^2 -1}+\frac{1+a}{1 -a}$；
(3)
(1)$\frac{12}{m^2 -9}+\frac{2}{3 -m}$；
(2)$\frac{4a}{a^2 -1}+\frac{1+a}{1 -a}$；
(3)
答案
解 (1) 原式 $=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2}{m-3}$
$=\frac{12-2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}$
$=-\frac{2}{m+3}$。
(2) 原式 $=\frac{4a}{(a+1)(a-1)}-\frac{a+1}{a-1}$
$=\frac{4a-(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{-(a-1)^2}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{1-a}{a+1}$。
(3) 原式 $=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
$=\frac{2x+6}{x+3}$
$=2$。
$=\frac{12-2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}$
$=-\frac{2}{m+3}$。
(2) 原式 $=\frac{4a}{(a+1)(a-1)}-\frac{a+1}{a-1}$
$=\frac{4a-(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{-(a-1)^2}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{1-a}{a+1}$。
(3) 原式 $=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
$=\frac{2x+6}{x+3}$
$=2$。
解析
【分析】
这是异分母分式的加减运算，解题思路如下：①先对每个分式的分子、分母进行因式分解，用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式，同时处理互为相反数的分母，统一分母形式；②找到各分式的最简公分母，通分化为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算；③对加减后的分子化简，再约分化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母，再统一分母符号：
原式$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2}{m-3}$
通分，最简公分母为$(m+3)(m-3)$：
$=\frac{12-2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
化简分子：
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}$
分子提取公因式后约分：
$=\frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)}=-\frac{2}{m+3}$
(2) 先因式分解分母，再统一分母符号：
原式$=\frac{4a}{(a+1)(a-1)}-\frac{a+1}{a-1}$
通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)$：
$=\frac{4a-(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
展开并化简分子：
$=\frac{4a-a^2-2a-1}{(a+1)(a-1)}=\frac{-(a-1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约去公因式得：
$=\frac{1-a}{a+1}$
(3) 先对两个分式的分子、分母分别因式分解：
原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
分别约分后化为同分母分式：
$=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
分子相加后化简约分：
$=\frac{2x+6}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}=2$
【答案】
(1) $-\frac{2}{m+3}$；(2) $\frac{1-a}{a+1}$；(3) $2$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式加减的常规基础题型，重点考察因式分解的应用和符号处理能力，计算时注意互为相反数的分母要先统一形式，最终结果需化为最简，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
这是异分母分式的加减运算，解题思路如下：①先对每个分式的分子、分母进行因式分解，用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式，同时处理互为相反数的分母，统一分母形式；②找到各分式的最简公分母，通分化为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算；③对加减后的分子化简，再约分化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母，再统一分母符号：
原式$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2}{m-3}$
通分，最简公分母为$(m+3)(m-3)$：
$=\frac{12-2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
化简分子：
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}$
分子提取公因式后约分：
$=\frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)}=-\frac{2}{m+3}$
(2) 先因式分解分母，再统一分母符号：
原式$=\frac{4a}{(a+1)(a-1)}-\frac{a+1}{a-1}$
通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)$：
$=\frac{4a-(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
展开并化简分子：
$=\frac{4a-a^2-2a-1}{(a+1)(a-1)}=\frac{-(a-1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约去公因式得：
$=\frac{1-a}{a+1}$
(3) 先对两个分式的分子、分母分别因式分解：
原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
分别约分后化为同分母分式：
$=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
分子相加后化简约分：
$=\frac{2x+6}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}=2$
【答案】
(1) $-\frac{2}{m+3}$；(2) $\frac{1-a}{a+1}$；(3) $2$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式加减的常规基础题型，重点考察因式分解的应用和符号处理能力，计算时注意互为相反数的分母要先统一形式，最终结果需化为最简，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
7. 对于代数式 $a,b,c,d$ 规定一种运算：
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}.$
按照此规则，
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix}$
计算的结果为(
A.$x^2$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x-1}$
D.$1$
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}.$
按照此规则，
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix}$
计算的结果为(
D
).A.$x^2$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x-1}$
D.$1$
答案
D 解析 根据题意，得
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1} =\frac{x+1}{x+1}=1$，故选D。
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1} =\frac{x+1}{x+1}=1$，故选D。
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，先确定行列式中对应位置的a、b、c、d四个取值，再将数值代入规定的运算公式，最后按照同分母分式的加减法则计算化简就能得到结果。具体思考路径：第一步先匹配对应量，确定a=x、b=-1、c=x+1、d=x+1；第二步代入运算公式得到分式运算式；第三步按照同分母分式加减法则计算，约分得到最终结果。
【解析】
根据题中规定的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}$，可得本次运算中$a=x$，$b=-1$，$c=x+1$，$d=x+1$，代入得：
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1}$
根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{x - (-1)}{x+1} = \frac{x+1}{x+1}$
约分化简后结果为1。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、同分母分式加减、分式约分
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题关键是正确解读新运算的对应规则，代入数值后按照分式加减的基本法则计算即可，主要考察对新规则的理解能力和基础分式运算能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，先确定行列式中对应位置的a、b、c、d四个取值，再将数值代入规定的运算公式，最后按照同分母分式的加减法则计算化简就能得到结果。具体思考路径：第一步先匹配对应量，确定a=x、b=-1、c=x+1、d=x+1；第二步代入运算公式得到分式运算式；第三步按照同分母分式加减法则计算，约分得到最终结果。
【解析】
根据题中规定的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}$，可得本次运算中$a=x$，$b=-1$，$c=x+1$，$d=x+1$，代入得：
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1}$
根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{x - (-1)}{x+1} = \frac{x+1}{x+1}$
约分化简后结果为1。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、同分母分式加减、分式约分
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题关键是正确解读新运算的对应规则，代入数值后按照分式加减的基本法则计算即可，主要考察对新规则的理解能力和基础分式运算能力。
【难度系数】
0.85
8. 甲、乙两地相距$s$ km，汽车从甲地到乙地按$v$ km每小时的平均速度行驶，可按时到达.若每小时多行驶$a$ km，则汽车可提前几小时到达？
答案
解 根据题意，得 $\frac{s}{v}-\frac{s}{v+a}=\frac{s(v+a)}{v(v+a)}-\frac{sv}{v(v+a)}=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h})$。
所以汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$到达。
所以汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$到达。
解析
【分析】
要计算汽车提前到达的时间，需先明确等量关系：提前时间=原计划行驶时间-提速后实际行驶时间。首先根据“时间=路程÷速度”的行程公式，分别求出原计划用时和提速后的用时，再对两个时间作差，通过分式减法的通分化简即可得到最终结果。
【解析】
解：首先计算原计划从甲地到乙地的用时：
原速度为$v\ \mathrm{km/h}$，路程为$s\ \mathrm{km}$，则原计划用时为$\frac{s}{v}\ \mathrm{h}$。
提速后速度为$(v+a)\ \mathrm{km/h}$，则提速后实际用时为$\frac{s}{v+a}\ \mathrm{h}$。
提前的时间为两个时间的差值：
$\begin{aligned}\frac{s}{v}-\frac{s}{v+a}&=\frac{s(v+a)}{v(v+a)}-\frac{sv}{v(v+a)}\\&=\frac{s(v+a)-sv}{v(v+a)}\\&=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h})\end{aligned}$
【答案】
汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\ \mathrm{h}$到达。
【知识点】
行程问题基本关系；分式的加减运算
【点评】
本题是分式运算在实际场景中的基础应用，解题核心是找准时间差的数量关系，计算时要注意分式通分的规范性，同时结果要符合实际意义，隐含分母不为0的条件。
【难度系数】
0.75
要计算汽车提前到达的时间，需先明确等量关系：提前时间=原计划行驶时间-提速后实际行驶时间。首先根据“时间=路程÷速度”的行程公式，分别求出原计划用时和提速后的用时，再对两个时间作差，通过分式减法的通分化简即可得到最终结果。
【解析】
解：首先计算原计划从甲地到乙地的用时：
原速度为$v\ \mathrm{km/h}$，路程为$s\ \mathrm{km}$，则原计划用时为$\frac{s}{v}\ \mathrm{h}$。
提速后速度为$(v+a)\ \mathrm{km/h}$，则提速后实际用时为$\frac{s}{v+a}\ \mathrm{h}$。
提前的时间为两个时间的差值：
$\begin{aligned}\frac{s}{v}-\frac{s}{v+a}&=\frac{s(v+a)}{v(v+a)}-\frac{sv}{v(v+a)}\\&=\frac{s(v+a)-sv}{v(v+a)}\\&=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h})\end{aligned}$
【答案】
汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\ \mathrm{h}$到达。
【知识点】
行程问题基本关系；分式的加减运算
【点评】
本题是分式运算在实际场景中的基础应用，解题核心是找准时间差的数量关系，计算时要注意分式通分的规范性，同时结果要符合实际意义，隐含分母不为0的条件。
【难度系数】
0.75
9. 先化简,再求值:$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{1 - a - b}{a - b}$,其中$a=-3,b=2.$
答案
解 $\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b}{a-b}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{1}{a-b}$。
当 $a=-3,b=2$ 时，
原式 $=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$。
$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b}{a-b}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{1}{a-b}$。
当 $a=-3,b=2$ 时，
原式 $=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的原则能降低计算量、减少出错率。首先对第一个分式的分子、分母因式分解：分子是平方差形式，用平方差公式分解，分母是完全平方形式，用完全平方公式分解，分解后约分即可将第一个分式化为最简；此时两个分式分母相同，按照同分母分式加减法则，分母不变、分子相加减，合并化简得到最简分式；最后代入a、b的数值计算即可，代入前确认a≠b，本题a=-3、b=2满足条件，可正常代入。
【解析】
解：先化简原式
$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{1 - a - b}{a - b}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b}{a-b}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b + 1 - a - b}{a-b}$
$=\frac{1}{a-b}$
再代值计算：当$a=-3,b=2$时，
原式$=\frac{1}{-3 - 2}=-\frac{1}{5}$
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的加减，因式分解，化简求值
【点评】
本题属于分式运算基础题型，核心是掌握分式加减的运算规则，先通过因式分解约分简化分式，再进行同分母分式的合并，合并分子时要注意符号不要出错，化简后再代值计算比直接代入原式更简便，能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的原则能降低计算量、减少出错率。首先对第一个分式的分子、分母因式分解：分子是平方差形式，用平方差公式分解，分母是完全平方形式，用完全平方公式分解，分解后约分即可将第一个分式化为最简；此时两个分式分母相同，按照同分母分式加减法则，分母不变、分子相加减，合并化简得到最简分式；最后代入a、b的数值计算即可，代入前确认a≠b，本题a=-3、b=2满足条件，可正常代入。
【解析】
解：先化简原式
$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{1 - a - b}{a - b}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b}{a-b}+\frac{1-a-b}{a-b}$
$=\frac{a+b + 1 - a - b}{a-b}$
$=\frac{1}{a-b}$
再代值计算：当$a=-3,b=2$时，
原式$=\frac{1}{-3 - 2}=-\frac{1}{5}$
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的加减，因式分解，化简求值
【点评】
本题属于分式运算基础题型，核心是掌握分式加减的运算规则，先通过因式分解约分简化分式，再进行同分母分式的合并，合并分子时要注意符号不要出错，化简后再代值计算比直接代入原式更简便，能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
